数列题

manthanein

数列满足如下条件：
\(\D S_{n+\lambda}=ka_{n}+b\)
其中\(\lambda\)、\(k\)、\(b\)都是常数，\(\lambda\)是非负整数。
\(n\)是不小于1的整数。

当\(\lambda\)取哪些值时，数列的通项公式可以用含\(\lambda\)、\(k\)、\(b\)、\(n\)的初等函数（实数范围）写出呢？

kastin

因为$$a_n=S_n-S_{n-1}\;(n\geqslant 2)$$那么$$a_{n+\lambda}=S_{n+\lambda}-S_{n+\lambda-1}=k(a_n-a_{n-1})\quad(n+\lambda\geqslant 2)$$这是线性递归方程，通解是否能用初等函数表示，取决于特征方程$$x^{\lambda+1}-kx+k=0$$所有根是否能用初等函数表示。显然5次代数方程没有一般通式解，故 `\lambda<4` 才保证数列有初等函数表达的通解形式。不过题目还需补充初始条件 `a_k=c_k\;(k=0,1,2,\cdots,\lambda)` 才能确定数列的特解。