估计(f(a)+f(b))/2和f((a+b)/2)之间的差距

manthanein

利用函数的凹凸性，可以得到\(\dfrac{f(a)+f(b)}{2}\)和\(f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\)的大小关系。
如何估计这两者之间的差距呢？（可以给函数一些限制条件，只要不是只适用于太特殊的函数）
拉格朗日中值定理不仅给出了粗略的大小，还给出了差距的表达式用于估计（虽然对于函数要有限制，但可以应付一般应用了），这里能不能也得到一个类似的结论呢？

kastin

设 `f(x)` 在区间`[a,b]`上至少二阶可导，根据泰勒公式$$\begin{align*}f(x)&=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+O((x-a)^3)\tag{1}\\f(x)&=f(b)+f'(b)(x-b)+\frac{f''(b)}{2!}(x-b)^2+O((x-b)^3)\tag{2}\end{align*}$$令 `\D x=\frac{a+b}{2}`，代入后相加得$$\begin{align*}f\left(\frac{a+b}{2}\right)&=\frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{f'(a)-f'(b)}{2}(b-a)+\frac{f''(a)+f''(b)}{8}(b-a)^2+O((b-a)^3)\\
&=\frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{f''(\xi)}{2}(b-a)+\frac{f''(a)+f''(b)}{8}(b-a)^2+O((b-a)^3),\;\xi\in(a,b)\end{align*}$$上面第二步应用了拉格朗日中值定理。整理一下就得到$$f\left(\frac{a+b}{2}\right)-\frac{f(a)+f(b)}{2}=\frac{f''(\xi)}{2}(b-a)+\frac{f''(a)+f''(b)}{8}(b-a)^2+O((b-a)^3),\;\xi\in(a,b)\tag{3}$$想要更高阶的表达式自己可以添上去。