一个关于指数的不等式

hejoseph

设 $a_i>0$（$i=1,\cdots,5$），$s=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$，证明或否定
\[
\sum_{i=1}^{5}a_i^{s-a_i}>1
\]

hejoseph

问题的来源：
设 $a_i>0$（$i=1,\cdots,n$），$s=\sum_{i=1}^n a_i$，式子
\[
\sum_{i=1}^{n}a_i^{s-a_i}>1
\]
在 $n=2,3,4$ 时已被证明，当 $n>5$ 时取 $a_i=\frac{1}{\text{e}}$ 时候被否定了，剩下的就是 $n=5$ 的情形了。