求椭圆的长轴和短轴，谢谢了

Zbinbincol

Problem 5: Find the long and short axis of ellipsoid

{(x, y) : 9x^2 + 4y^4 + 6xy ≤ 1.}

找这个椭圆的长轴和短轴

hujunhua

y^2吧？
求x^2+y^2的极大极小值就好。推荐用参数法，设 x=dcosθ, y=dsinθ

ps: 以后请发在小题大作版块

Zbinbincol

hujunhua 发表于 2017-5-2 16:46
y^2吧？
求x^2+y^2的极大极小值就好。推荐用参数法，设 x=dcosθ, y=dsinθ

谢谢

wayne

旋转不会改变 长短轴的大小。所以，我们用旋转变换，假设旋转了$\theta$度， 那么做替换 ${x,y} -> {x cos \theta - y sin\theta,  x sin \theta+y cos \theta }$，使得替换后 椭圆 变正了，即方程不含$ xy$项 (令系数为0)。

\(x^2 \left(4 \sin ^2(\theta )+9 \cos ^2(\theta )+6 \sin (\theta ) \cos (\theta )\right)+x y \left(-6 \sin ^2(\theta )+6 \cos ^2(\theta )-10 \sin (\theta ) \cos (\theta )\right)+y^2 \left(9 \sin ^2(\theta )+4 \cos ^2(\theta )-6 \sin (\theta ) \cos (\theta )\right)= 1\)

解得：半长和半短分别是 $\frac{1}{54} (13+\sqrt{61}),\frac{1}{54} (13-\sqrt{61})$

mathe

写成矩阵形式为$[(9,3),(3,4)]$,特征多项式$x^2-13x+27$.所以对角化后对角线就是这个方程的解，对应椭圆长短半轴倒数的平方
所以长半轴为$\sqrt{2/{13-\sqrt{61}}}$,短半轴为$\sqrt{2/{13+\sqrt{61}}}$

wayne

赞， 还是mathe的方法最简单，直抵本质，没有多余的计算量！

chyanog

笨方法，从椭圆第一定义出发，设斜椭圆的两个焦点坐标为`(m,n), (-m,-n)`, 半长轴为`a`, 则
` \sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2}+\sqrt{(x+m)^2+(y+n)^2}=2 a `，去根号转化为多项式
` \left(a^2-m^2\right) x^2-2 m n x y+\left(a^2-n^2\right) y^2+\left(-a^4+a^2 m^2+a^2 n^2\right) `
和`9 x^2+6 x y+4 y^2-1`系数进行比较，解关于`m,n,a`的方程组

mathematica

找本数学手册,然后照着公式套一下,不就行了吗?

mathematica

https://wenku.baidu.com/view/c73 ... 022647.html?re=view
5-二次型及其标准型

mathematica代码

1. 1/#^(1/2)&/@Eigenvalues[{{9,3},{3,4}}]

复制代码

结果\[\left\{\sqrt{\frac{2}{\sqrt{61}+13}},\sqrt{\frac{2}{13-\sqrt{61}}}\right\}\]

mathematica

@chyanog Listable属性怎么查看呢?