一道平面几何最值问题

chyanog

mathematica 发表于 2017-5-10 18:14
请问这题如果转化成问BD+2*AD如何解决?
难道只能以BF两点为焦点?
不能以A为焦点吗?

本题麻烦的地方就是BD/2，观察下图，用相似初中生应该可以理解，△BOD∽△DOF

zhouguang

借用8层的图，一个半径为r的圆O和一条线OB及其上一点F，如果OB、r和OF为等比数列，且比例为k，那么对于圆上动点D，BD和FD的比例为k的平方。
如果知道了这个，这题就ok了。因为当ADF为直线时最短。

gxqcn

当时题目要求的是 \(\left(AD +\dfrac{1}{2}BD\right)\) 的最小值，大家很自然地会想到构造出一线段，使之等于 \(\dfrac{1}{2}BD\)，
假如题目改成：求 \((2AD +BD)\) 的最小值，还会有如此自然的解法么？

mathematica

1. min=((x-6)^2+y^2)^0.5+0.5*(x^2+(y-8)^2)^0.5;
   
2. x^2+y^2=16;

复制代码

  Global optimal solution found.
  Objective value:                              6.324555
  Objective bound:                              6.324555
  Infeasibilities:                              0.000000
  Extended solver steps:                               1
  Total solver iterations:                           653
  Elapsed runtime seconds:                          0.19

  Model Class:                                       NLP

  Total variables:                      2
  Nonlinear variables:                  2
  Integer variables:                    0

  Total constraints:                    2
  Nonlinear constraints:                2

  Total nonzeros:                       4
  Nonlinear nonzeros:                   4



                                Variable           Value        Reduced Cost
                                       X        3.940659            0.000000
                                       Y       0.6864472           0.4941081E-07

                                     Row    Slack or Surplus      Dual Price
                                       1        6.324555           -1.000000
                                       2        0.000000           0.9027837E-01

mathematica

还是微积分牛逼!

markfang2050

Initial Objective: 6.433978400210179
Final Objective: 6.3245552788655255
Solution
x1 = 3.940651704763995
x2 = 0.6864871492481873

mathematica

chyanog 发表于 2017-5-10 14:15

如果是求解1.5DB+DA，
那么就应该以A点为基准

1. FullSimplify@
   
2. Minimize[{Sqrt[(x - 6)^2 + y^2] + 3/2*Sqrt[x^2 + (y - 8)^2],
   
3.    x^2 + y^2 == 16}, {x, y}]

复制代码

求解结果如下：

\[\left\{4 \sqrt{10},\left\{x\to \frac{1}{5} (-2) \left(\sqrt{6}-6\right),y\to \frac{2}{5} \left(3 \sqrt{6}+2\right)\right\}\right\}\]