一道初中代数题

gxqcn · 发表于 2017-5-11 15:42:45

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计算：\(\dfrac{\D\sum_{k=1}^{99}{\sqrt{10+\sqrt{k}}}}{\D\sum_{k=1}^{99}{\sqrt{10-\sqrt{k}}}}\)

mathematica · 发表于 2017-5-11 16:06:42

\[\sqrt{2}+1\]

hejoseph · 发表于 2017-5-11 16:07:29

令 \[
x=\sum_{k=1}^{99}\sqrt{10+\sqrt{k}},\\
y=\sum_{k=1}^{99}\sqrt{10-\sqrt{k}},\]

由于 \[
\sqrt{10+\sqrt{k}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{10+\sqrt{100-k}}+\sqrt{10-\sqrt{100-k}}\right),\\
\sqrt{10-\sqrt{k}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{10+\sqrt{100-k}}-\sqrt{10-\sqrt{100-k}}\right),\]

所以 \[
x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y\right),\\
y=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-y\right),\]

由此便容易求得 \[\frac{x}{y}=\sqrt{2}+1.\]

mathematica · 发表于 2017-5-11 16:22:53

RootApproximant@N[Sum[Sqrt[10+Sqrt[k]],{k,1,99}]/Sum[Sqrt[10-Sqrt[k]],{k,1,99}],40000]

复制代码

最暴力的办法!

chyanog · 发表于 2017-5-11 19:11:31

或者可以考虑三角代换，令 `\sqrt{k}=10 \cos (2 x)`

mathematica · 发表于 2017-5-12 08:49:04

chyanog 发表于 2017-5-11 19:11
或者可以考虑三角代换，令 `\sqrt{k}=10 \cos (2 x)`

给一个过程呀,我看不到结果

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[讨论] 一道初中代数题

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