如何证明一个不等式

gaojl0518 · 发表于 2017-7-6 13:57:35

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这个是我作科研中遇到的一个不等式，我猜想它应该是成立的，因为用Matlab仿真强烈暗示其正确性，但是一直难以严格证明，请各位大神帮帮忙吧。
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mathe · 发表于 2017-7-7 11:28:27

对于每个变量都是开口向下的二次函数，最大值在边界或极值点

gaojl0518 · 发表于 2017-7-8 17:53:57

mathe 发表于 2017-7-7 11:28
对于每个变量都是开口向下的二次函数，最大值在边界或极值点

不太明白具体的意思。
每一项都是开口向下的二次函数吗？

hujunhua · 发表于 2017-7-8 19:21:35

不知道楼主是怎么证明`S_3\le3`的，我试了一下，用变量替换可以成功。

把所有的 `x_i` 用 `1-x_i`代换（代换后仍然有`0\le x_i\le1`），代入`S_3`.
然后令`\sigma_1=x_1+x_2+x_3`,`\sigma_2=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1`,`\sigma_3=x_1x_2x_3`
则`S_3=3-\sigma_1(\sigma_1-\sigma_2)-(\sigma_2-3\sigma_3)-\sigma_1\sigma_3`
由`\sigma_1\ge\sigma_2\ge3\sigma_3\ge0`得 `S_3\le3`.

不知这方法能不能推广。

gaojl0518 · 发表于 2017-7-8 20:19:22

hujunhua 发表于 2017-7-8 19:21
不知道楼主是怎么证明`S_3\le3`的，我试了一下，用变量替换可以成功。

把所有的 `x_i` 用 `1-x_i`代换（ ...

n=3时只要求一下导数就可以证明了，但是n变大时很难处理

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[猜想] 如何证明一个不等式

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