lnx/x=lnlnx/lnx

王守恩

\(\D \frac{\ln x}{x}=\frac{\ln(\ln x)}{\ln x}\)，求 \(x=?\)

mathe

5.4444727541545141416855065051707898147

mathematica

1. FindRoot[Log[x]/x - Log@Log[x]/Log[x], {x, 5}, MaxIterations -> 1000,
   
2. WorkingPrecision -> 100, AccuracyGoal -> 100]

复制代码

求解结果
{x -> 5.44447275415451414168550650517078981472403489629230191645529766\
9762099145031151405944166519221842226}

mathematica

mathe 发表于 2017-11-3 13:35
5.4444727541545141416855065051707898147

Log[x]/x与Log@Log[x]/Log[x]
都无限接近于零，能否证明这个
方程只有一个实数解呢？

mathematica

mathematica 发表于 2018-12-30 12:55
Log[x]/x与Log@Log[x]/Log[x]
都无限接近于零，能否证明这个
方程只有一个实数解呢？

当x>e的时候，方程Log[x]/x是减函数
Log[x]/x的导数是(1 - Log[x])/x^2
因此当x>e^e=15.154262241479264189760430272629911905528548536856139769140746405时。
此时Log[x]/x比Log@Log[x]/Log[x]小，
而Log[x]/x与Log@Log[x]/Log[x]都趋向于0，所以
Log[x]/x-Log@Log[x]/Log[x]在区间(e^e,正无穷大)上无解。
剩下的就是证明在区间(1, e^e)上只有一个根，这个我只会画图像
不过函数Log[x]/x-Log@Log[x]/Log[x]在x=172.165附近有个极小值，挺有意思的

mathe

设$f(x)=x\log(\log(x))-\log^2(x)$

显然在$1<x<=e$时，$f(x)<0$
而在$x>e$时
$f'(x)=\log(\log(x))+1/{\log(x)}-{2\log(x)}/x$

$f''(x)=1/{x\log(x)}-1/{x\log^2(x)}-2/{x^2}+{2\log(x)}/x^2=(log(x)-1)(1/{x\log^2(x)}+2/{x^2})>0$

所以$f'(x)>f'(e)=0+1-2/e>0$
由此我们得出在$x>e$时$f(x)$单调增
所以${f(x)}/{x\log(x)}={\log(\log(x))}/{\log(x)}-{\log(x)}/x$在$x>e$最多一个零点