数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 990|回复: 8

[欣赏] {a(n)}+{b(n)}+{c(n)}能跑遍所有正整数吗?

[复制链接]
发表于 2019-10-10 07:24:03 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
{a(n)}+{b(n)}+{c(n)}= N 吗?为什么?
这里N为自然数集,+表示集合的并,因为三者的两两之交为空。

{a(n)}={1, 4, 07, 09, 12, 15, 16, 19, 22, 25, 27, 30, 32, 34, 37, 40, 43, 45, 47, 50, 52, 55, 58, 60, 63, 65,...}
{b(n)}={2, 5, 08, 11, 14, 18, 20, 23, 26, 29, 33, 36, 38, 41, 44, 48, 51, 54, 56, 59, 62, 66, 69, 72, 75, 77,...}
{c(n)}={3, 6, 10, 13, 17, 21, 24, 28, 31, 35, 39, 42, 46, 49, 53, 57, 61, 64, 67, 71, 74, 79, 82, 85, 89, 92,...}

\(\D a(n)=n+\lfloor n*\sqrt[4]{1/2}\rfloor+\lfloor n*\sqrt[4]{1/4}\rfloor\)

\(\D b(n)=n+\lfloor n*\sqrt[4]{1/2}\rfloor+\lfloor n*\sqrt[4]{2}\rfloor\)

\(\D c(n)=n+\lfloor n*\sqrt[4]{4}\rfloor+\lfloor n*\sqrt[4]{2}\rfloor\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-10-11 09:10:12 | 显示全部楼层
题目出处?

点评

很好奇你是怎么发现这个结论的,一点也不显然啊,有没有参考资料呢  发表于 2019-10-11 11:35

评分

参与人数 1威望 +4 金币 +4 贡献 +4 经验 +4 鲜花 +4 收起 理由
王守恩 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 谢谢!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
回复

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2019-10-11 10:16:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-10-11 18:08 编辑


各位高手!能不能找一个”函数“(我不会):把 a(n),b(n),c(n)混在一起,
从小到大排列,每个正整数恰好是出现 ”1“ 次(看看有没有漏了的,看看有没有重复的)。
我只是想把所有正整数拆分成若干份,不允许重复,又不想周期循环,大家可有类似参考资料。

点评

很好奇你是怎么发现这个结论的,一点也不显然啊,有没有参考资料呢  发表于 2019-10-11 11:35
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-10-11 14:22:06 | 显示全部楼层
貌似只要$t>0$且$t^2,t+1/t,t+t^2,1/t+1/t^2$都是无理数,
$a_n=n+[n/t]+[n/t^2],$
$b_n=n+[n/t]+[nt],$
$c_n=n+[nt^2]+[nt],$
$[x]$表示$x$的整数部分,那么每个正整数刚好在$a_n,b_n,c_n$中出现一次。本题中$t=2^(1/4)$.

评分

参与人数 1威望 +2 金币 +2 贡献 +2 经验 +2 鲜花 +2 收起 理由
王守恩 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 痛快!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-10-18 12:25:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-10-18 13:13 编辑
lsr314 发表于 2019-10-11 14:22
貌似只要$t>0$且$t^2,t+1/t,t+t^2,1/t+1/t^2$都是无理数,
$a_n=n+[n/t]+[n/t^2],$
$b_n=n+[n/t]+[nt],$
...

也可以这样:
{a(n)}={1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 47, 49, 52, 55, 58, 61, 64,...}
{b(n)}={2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 46, 50, 53, 56, 59, 62, 65, 68,...}
{c(n)}={3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 73,...}
\(a(n)=n+\lfloor n∗\sqrt\frac{7}{9}\rfloor+\lfloor n∗\sqrt\frac{8}{9}\rfloor\)
\(b(n)=n+\lfloor n∗\sqrt\frac{7}{8}\rfloor+\lfloor n∗\sqrt\frac{9}{8}\rfloor\)
\(c(n)=n+\lfloor n∗\sqrt\frac{8}{7}\rfloor+\lfloor n∗\sqrt\frac{9}{7}\rfloor\)

还可以有吗?
{a(n)}+{b(n)}+{c(n)}+{d(n)}= N
这里N为自然数集,+表示集合的并,因为四者的两两之交为空。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-10-22 22:53:40 | 显示全部楼层
如果$t_1,t_2,…,t_k$都是正数,且任意两个数的比值都是无理数,
$a_i(n)=\sum_{j=1}^k[t_j/t_i n],i=1,2,…k.$
那么每个正整数在数列$a_1(n),…a_k(n)$中恰好出现一次。

评分

参与人数 1威望 +6 金币 +6 贡献 +6 经验 +6 鲜花 +6 收起 理由
王守恩 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 美妙的正整数!!!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-10-25 20:04:56 | 显示全部楼层
说实话,看了楼主这么多帖子,觉得楼主有拉马努金的潜质
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2020-7-7 08:41 , Processed in 0.566144 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表