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[原创] 两个相等的弓形相交

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发表于 2022-4-17 00:52:17 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图,两个一样的弓形,一个从另一个的顶部扎到了底部,已知:
1) 蓝弓的一端在绿弓的圆心O
2) 两弓的另一端点A、C及弧的交点D共线。
试求:弓背的弧度。
两个弓形.PNG
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-4-17 19:35:16 | 显示全部楼层
是趣题. 但是求 妙解感觉不太现实.  还是解析几何比较简洁.^_^.
算得两个答案,一个是 $\frac{5 \pi }{9}$,另一个更大,是 $\pi -\theta$,  $\tan\theta$是方程$529 x^8+412 x^6-34 x^4-148 x^2+25=0$的根.
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-4-17 20:07:37 | 显示全部楼层
有意思!正在求解中…
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 楼主| 发表于 2022-4-18 09:53:42 | 显示全部楼层
找到蓝色弓形的圆心`O’`,由`∠CDO’+∠O’DO+∠ODA=π`可简单求得一个答案`5π/9`.

@wayne另一个答案,我还不知道在什么位置。

点评

验证了下,好像是增根,^O^  发表于 2022-4-18 13:47
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-4-19 15:00:57 | 显示全部楼层
好题!难得一见的好题!

记\(OA=1\ \ ∠COA=2x\ \ ∠ACO=b\ \ ∠DAB=a\ \ ∠DOB=∠DO'E=2a\ \ ∠DO'C=4a\)

NSolve[{Sin[2a]/Sin[ b]=Sin[4a]/Cos[2a],1/Sin[ b]=2Sin[x]/Sin[2x+b],a=[Pi]/2-x-b,x>0,b>0,a>0},{x,b,a}]

{{x -> 50., b -> 30., a -> 10.}}

1:由Sin[2a]/Sin[ b]=Sin[4a]/Cos[2a]可得 b -> 30
    △OCD:CD=Sin[2a]/Sin[ b]
    △O'CD:CD=Sin[4a]/Cos[2a]
2:由1/Sin[ b]=2Sin[x]/Sin[2x+b]可得 x -> 50
3:由a=[Pi]/2-x-b可得 a -> 10
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-4-20 10:46:29 | 显示全部楼层
CO^2-DO^2=CD*CA
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 楼主| 发表于 2022-4-20 16:06:15 | 显示全部楼层
标出蓝弓的圆心O', 显然O'反过来在绿弓弧所在圆周上,所以△ODO’为正△。
既然是两个一样的弓形,那么∠O'OC=∠OBA,  ∴连心线OO'∥AB,
∴ 1、劣弧 DB=DE:=2α, 则∠BAC=½弧 DB=α,∠DCE=½弧 DE=α,再由A,D,C共线得  CE=AE
    2、OO'∥AB,O'E=OA → OO'=AE*,∴△CO'E亦为正△。∴弧OE=弧DC=4α。
于是 弧OED=6α=π/3, 弓形弧=10α=5π/9.
捕获.PNG
*:一个四边形,一组对边平行,另一组对边相等,它要么是等腰梯形,要么是平行四边形。
本例中O'OAE显然是后者。
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发表于 2022-4-25 07:00:39 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2022-4-20 16:06
标出蓝弓的圆心O', 显然O'反过来在绿弓弧所在圆周上,所以△ODO’为正△。
既然是两个一样的弓形,那么∠O ...

谢谢 hujunhua!好题!挖一挖!

1,题目可以这样描述:
已知OA=OB=OD=OO'=O'C=O'D=O'E,AB=CO,DB=DE,求证∠ACB=30°。
“=”可以减少吗?

2,根据 A,B,C,D,E,O,O' 7个点:
可以找到10°,20°,30°,40°,50°,60°,70°,80°,...的角,就是找不到90°的角。
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