两个相等的弓形相交

hujunhua

如图，两个一样的弓形，一个从另一个的顶部扎到了底部，已知：
1) 蓝弓的一端在绿弓的圆心O
2) 两弓的另一端点A、C及弧的交点D共线。
试求：弓背的弧度。

wayne

是趣题. 但是求 妙解感觉不太现实.  还是解析几何比较简洁.^_^.
算得两个答案,一个是 $\frac{5 \pi }{9}$,另一个更大,是 $\pi -\theta$,  $\tan\theta$是方程$529 x^8+412 x^6-34 x^4-148 x^2+25=0$的根.

ejsoon

有意思！正在求解中…

hujunhua

找到蓝色弓形的圆心`O’`，由`∠CDO’+∠O’DO+∠ODA=π`可简单求得一个答案`5π/9`.

@wayne另一个答案，我还不知道在什么位置。

王守恩

好题！难得一见的好题！

记\(OA=1\ \ ∠COA=2x\ \ ∠ACO=b\ \ ∠DAB=a\ \ ∠DOB=∠DO'E=2a\ \ ∠DO'C=4a\)

NSolve[{Sin[2a]/Sin[ b]=Sin[4a]/Cos[2a],1/Sin[ b]=2Sin[x]/Sin[2x+b],a=[Pi]/2-x-b,x>0,b>0,a>0},{x,b,a}]

{{x -> 50., b -> 30., a -> 10.}}

1：由Sin[2a]/Sin[ b]=Sin[4a]/Cos[2a]可得 b -> 30
    △OCD：CD=Sin[2a]/Sin[ b]
    △O'CD:CD=Sin[4a]/Cos[2a]
2：由1/Sin[ b]=2Sin[x]/Sin[2x+b]可得 x -> 50
3：由a=[Pi]/2-x-b可得 a -> 10

倪举鹏

CO^2-DO^2=CD*CA

hujunhua

标出蓝弓的圆心O', 显然O'反过来在绿弓弧所在圆周上，所以△ODO’为正△。
既然是两个一样的弓形，那么∠O'OC=∠OBA,  ∴连心线OO'∥AB,
∴ 1、劣弧 DB=DE:=2α, 则∠BAC=½弧 DB=α，∠DCE=½弧 DE=α，再由A,D,C共线得  CE=AE
    2、OO'∥AB，O'E=OA → OO'=AE*，∴△CO'E亦为正△。∴弧OE=弧DC=4α。
于是 弧OED=6α=π/3, 弓形弧=10α=5π/9.

*：一个四边形，一组对边平行，另一组对边相等，它要么是等腰梯形，要么是平行四边形。
本例中O'OAE显然是后者。

王守恩

hujunhua 发表于 2022-4-20 16:06
标出蓝弓的圆心O', 显然O'反过来在绿弓弧所在圆周上，所以△ODO’为正△。
既然是两个一样的弓形，那么∠O ...

谢谢 hujunhua！好题！挖一挖！

1,题目可以这样描述:
已知OA=OB=OD=OO'=O'C=O'D=O'E,AB=CO,DB=DE，求证∠ACB=30°。
“=”可以减少吗？

2,根据 A,B,C,D,E,O,O' 7个点：
可以找到10°,20°,30°,40°,50°,60°,70°,80°,...的角，就是找不到90°的角。