数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 127|回复: 6

[原创] 斐波那契数列的其它通项公式

[复制链接]
发表于 2022-4-28 19:27:57 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
an=
         
         [(n/2)-1]*[(-1)^n+1]/2+[(n-1)/2]*[(-1)^(n-1)+1]/2
                                                                          (n-i-1)!/i!*(n-2*i-1)!   
          i=0                                                                                   
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-4-28 19:30:11 | 显示全部楼层
这个纯粹是本人自己推导的公式,定有许多不足之处,希望各位大佬多多指点。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-4-28 19:32:07 | 显示全部楼层
原理是不尽相异元素的可重排列。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-4-29 12:50:25 | 显示全部楼层
1,博主。\(\D\sum_{i=0}^{(\frac{n}{2}-1)(\frac{(-1)^n+1}{2})+(\frac{n-1}{2})(\frac{(-1)^{n-1}+1}{2})}\frac{(n-i-1)!}{i!(n-2i-1)!}\)
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765}

2,修正。\(\D\sum_{i=0}^{(\frac{n-1}{2})}\frac{(n-i-1)!}{i!(n-2i-1)!}\)
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765}

3,再修正。\(\D\sum_{i=0}^{(\frac{n}{2})}\frac{(n-i)!}{i!(n-2i)!}\)
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765}

可参考《整数序列在线百科全书(OEIS)》A000045
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-4-30 17:01:24 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2022-4-29 12:50
1,博主。\(\D\sum_{i=0}^{(\frac{n}{2}-1)(\frac{(-1)^n+1}{2})+(\frac{n-1}{2})(\frac{(-1)^{n-1}+1}{2})} ...

首先谢谢大佬的修正
其次我想知道这个公式和现有的公认的公式
  an=(1/(5^0.5)){[(1+5^0.5)/2]^n-[(1-5^0.5)/2]^n}
它们的区别和实用性。
我个人认为现有的公式并不能很快算出具体的值(二项式定理展开之后还是很难算,也可能是我能力不够)
当然对于电脑来说显然现有公式比较好写代码。
  
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-4-30 17:06:40 | 显示全部楼层
感觉还是我的公式(大佬修正之后的)比较简洁(有点自恋)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-4-30 17:44:33 | 显示全部楼层
假设有n阶楼梯,每次上一阶或者两阶。问有多少种上法?
答案就是王守恩的修正3,
实际意义:假设上n阶楼梯的上法是f(n),则有f(n-2)+f(n-1)=f(n),满足斐波那契数列的定义。
具体推导过程:记“一次上两阶”为a,则a之多为[n/2]次(中括号为取整函数),记“一次上一阶”为b,则上楼的整个过程由i个a和(n-2i)个b组成,
重集{i*a,(n-2i)*b}的全排列为
      n/2
       ∑     (n-i)!/i!(n-2i)!
      i=0
(这里想问一下∑的上限自带取整函数吗?当时我并不知道就把上限修改成判断奇偶的形式了。)

评分

参与人数 1威望 +3 金币 +3 贡献 +3 经验 +3 鲜花 +3 收起 理由
王守恩 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ∑的上限自带取整函数.

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2022-5-22 12:59 , Processed in 0.294218 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表