超级难题:广场上的4只狗

arcol

有4只狗,分别站在正方形广场的4个角上,按顺时针方向,每一只狗都以同样速度紧追着前面一只狗,请问它们会相遇吗?如果相遇需要花多少时间?如果不相遇请证明之

提示:
1.计算题目所需要的数值,例如正方形边长,狗的速度等,均可用变量表示,例如a,v之类的
2.所有的狗都是同一时刻开始移动,并没有先后次序,而且方向是"紧追"前面的狗

风云剑

老题了啊。a/v

arcol

楼上的是怎么算的?...有朋友用极限证明出它们是不会相遇的

056254628

关键在于对下面这句话的理解：
        每一只狗都以同样速度紧追着前面一只狗
第一种理解：是以地面为参照物，狗的速度始终为v，速度方向在任意时刻都朝着被追的狗。
第二种理解：以被追的狗为参照物，狗的速度始终为v，速度方向在任意时刻都朝着被追的狗。在这种情况，以地面上的不动的人来说，狗的速度方向不是朝着狗的。
-------------------------------------------------------
一般来说，对于狗来说，它始终追着另一条狗，总是对着被追的狗跑的（即以被追的狗为参照物，始终朝着它）。所以应该第二种理解是对的。
对于第二种理解：可以以狗A为参照物，追它的为狗B，则狗B的运动是以速度为v的直线运动，它们的初始距离是a，所以相遇的时间为a/v

arcol

我觉得情况还是比较复杂,他们的初始距离是a,但他们的运动轨迹可能比a更长,所以即使相遇,时间也不一定是a/v
我是想到它们的轨迹应该是往广场中心移动的螺旋曲线,这条曲线可能是像风车那样只有1/4圆,或者像波板糖那样超过半圈甚至可能旋转多圈,这样的话相遇时所走过的距离s就会远远大于边长a...还有一个很重要的问题,这个风车一样的螺旋曲线是否能到达圆心

sheng_jianguo

下面严格证明（证明方法是我自已想出来的，据说比黑博士考研数学2002预测卷上的解法漂亮）：所用时间=a/v
令正方形ABCD的中点O为极点，极轴经过A点，建立极坐标系。
设X(ρ,θ)为此曲线上的一点，φ为向量OX与X(ρ,θ)点切线（正向）夹角，ρ=f(θ)为曲线方程。
按条件，φ=45°（为常数，不随点的变化而变化）
又ρ/ρ'=tg(φ)
故dρ/dθ=ρ
解得ρ=Ce^(θ) （C为常数）
又|OA|=(√2/2)a，f(0)= |OA|
故C=(√2/2)a
得ρ=f(θ)= (√2/2)a e^(θ)　（1）　
方程（1）这就是A点狗轨迹的极坐标方程：θ∈(-∞,0)的标准等角螺线。
按此理论解不难绘出狗的行进轨迹（见下图）。

下面求狗轨迹（曲线）的长度L：
L=∫(-∞,0) √(ρ²+ρ’²) dθ
=∫(-∞,0) a e^(θ)dθ
= a e^(0)-lim(θ-->-∞) a e^(θ)
=a
设四只狗经过多少t(秒)(完全)重合，则
t=L/ v
=a/v

太简单了，太完美了，真是难以令人置信。
以上是纯数学解，实际情况如何呢？
当狗接近极点O时，会越转越快。
只要狗有宽度（无论多小），其边缘上点的速度会越来越大，超过第一宇宙速度，超过光速，…
所以，实际上狗无论以多慢的匀速按题目条件走，决不可到极点O。

本问题太美妙了，真是令人非常惊叹！

mathe

速度不变总长度有限，所花时间肯定是有限的。
变化越来越大的是角速度，也就是它旋转的速度越来越快，但是由于旋转半径越来越小，线速度还是不会太大的

056254628

6楼何来简单之说。
最简单的是：直接以被追的狗为参照物，追它的狗的运动就是初距为a，速度为v的匀速直线运动。
马上得到答案。由于不涉及到对力的计算，参照系不必局限于牛顿的参照系。

056254628

5楼的思想局限还是局限在参照系的选择上。
只要能做出答案，为什么非要选广场为参照物呢？

056254628

如果        每一只狗都以同样速度紧追着前面一只狗
是第一种理解：是以地面为参照物，狗的速度始终为v，速度方向在任意时刻都朝着被追的狗。
--------------------------------------------
那么以广场为参照物：
在任何时刻，把狗的速度v分解为指向广场中心的速度v1和与之垂直方向的速度v2。
根据对称性，狗的速度V与v1永远成45度角，所以v1固定等于v/√2，而最终狗相遇于广场中心。
v1决定狗与广场中心的距离的缩短，而v2与距离的缩短无关。
----------------------------------------------------------------------
而初始，狗与广场中心的距离为a/√2，狗与广场中心距离缩短的速度恒为v1=v/√2.
所以马上得出时间等于a/√2除以v/√2，等于a/v.
所以对于第一种理解，上述解法才是最简单的。
而对于第二种理解，8楼是最简单的。