五球相切问题

数学星空

如果半径分别为$r1,r2,r3,r4$四个球两两外切，若第五个球与已知四个球均相切.
1.求出第五个球存在的条件?
2.若存在,求第五个球半径$r$，并用代数方程表示出来?

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我们可以根据平面情形:三个已知圆两两外切,求第四圆与已知三圆相切的半径作类比?
具体见http://bbs.emath.ac.cn/viewthread.php?tid=1519&highlight=

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设已知四个已知球的球心分别为$A,B,C,D$,半径分别为$r1,r2,r3,r4$
待求第五个球的球心为$P$,其半径为$r$
对于第五个球均外切于已知四球的情形:
$288*(V_(P-ABC))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r+r1)^2,(r+r2)^2,(r+r3)^2),(1,(r+r1)^2,0,(r1+r2)^2,(r1+r3)^2),(1,(r+r2)^2,(r1+r2)^2,0,(r2+r3)^2),(1,(r+r3)^2,(r1+r3)^2,(r2+r3)^2,0)|$


$288*(V_(P-ABD))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r+r1)^2,(r+r2)^2,(r+r4)^2),(1,(r+r1)^2,0,(r1+r2)^2,(r1+r4)^2),(1,(r+r2)^2,(r1+r2)^2,0,(r2+r4)^2),(1,(r+r4)^2,(r1+r4)^2,(r2+r4)^2,0)|$


$288*(V_(P-BCD))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r+r3)^2,(r+r2)^2,(r+r4)^2),(1,(r+r3)^2,0,(r3+r2)^2,(r3+r4)^2),(1,(r+r2)^2,(r3+r2)^2,0,(r2+r4)^2),(1,(r+r4)^2,(r3+r4)^2,(r2+r4)^2,0)|$


$288*(V_(P-ACD))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r+r3)^2,(r+r1)^2,(r+r4)^2),(1,(r+r3)^2,0,(r3+r1)^2,(r3+r4)^2),(1,(r+r1)^2,(r3+r1)^2,0,(r1+r4)^2),(1,(r+r4)^2,(r3+r4)^2,(r1+r4)^2,0)|$


$288*(V_(D-ABC))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r4+r1)^2,(r4+r2)^2,(r4+r3)^2),(1,(r4+r1)^2,0,(r1+r2)^2,(r1+r3)^2),(1,(r+r2)^2,(r1+r2)^2,0,(r2+r3)^2),(1,(r4+r3)^2,(r1+r3)^2,(r2+r3)^2,0)|$


$V_(P-ABC)+V_(P-ABC)+V_(P-ABD)+V_(P-BCD)=V_(D-ABC)$
根据以上方程可以确定r的代数方程,显然,展开后很庞大!

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对于第五个球均内切于已知四球的情形:
$288*(V_(P-ABC))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r-r1)^2,(r-r2)^2,(r-r3)^2),(1,(r-r1)^2,0,(r1+r2)^2,(r1+r3)^2),(1,(r-r2)^2,(r1+r2)^2,0,(r2+r3)^2),(1,(r-r3)^2,(r1+r3)^2,(r2+r3)^2,0)|$


$288*(V_(P-ABD))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r-r1)^2,(r-r2)^2,(r-r4)^2),(1,(r-r1)^2,0,(r1+r2)^2,(r1+r4)^2),(1,(r-r2)^2,(r1+r2)^2,0,(r2+r4)^2),(1,(r-r4)^2,(r1+r4)^2,(r2+r4)^2,0)|$


$288*(V_(P-BCD))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r-r3)^2,(r-r2)^2,(r-r4)^2),(1,(r-r3)^2,0,(r3+r2)^2,(r3+r4)^2),(1,(r-r2)^2,(r3+r2)^2,0,(r2+r4)^2),(1,(r-r4)^2,(r3+r4)^2,(r2+r4)^2,0)|$


$288*(V_(P-ACD))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r-r3)^2,(r-r1)^2,(r-r4)^2),(1,(r-r3)^2,0,(r3+r1)^2,(r3+r4)^2),(1,(r+r1)^2,(r3+r1)^2,0,(r1+r4)^2),(1,(r-r4)^2,(r3+r4)^2,(r1+r4)^2,0)|$


$288*(V_(D-ABC))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r4+r1)^2,(r4+r2)^2,(r4+r3)^2),(1,(r4+r1)^2,0,(r1+r2)^2,(r1+r3)^2),(1,(r+r2)^2,(r1+r2)^2,0,(r2+r3)^2),(1,(r4+r3)^2,(r1+r3)^2,(r2+r3)^2,0)|$


$V_(P-ABC)+V_(P-ABC)+V_(P-ABD)+V_(P-BCD)=V_(D-ABC)$
根据以上方程可以确定r的代数方程,显然,展开后也很庞大!

gxqcn

请参考：
1、http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... ;fromuid=8#pid28097
2、Descartes Circle Theorem

可得到如下简洁的计算公式：
若半径分别为 $r_1$、$r_2$、$r_3$、$r_4$ 、$r_5$的五个球两两相切，则有：

$1/r_1^2+1/r_2^2+1/r_3^2+1/r_4^2+1/r_5^2=1/3(1/r_1+1/r_2+1/r_3+1/r_4+1/r_5)^2$

其中，若两球相外切，则两球半径取同号；若两球相内切，两球半径取异号。

数学星空

不知以上公式是如何推导而来的,我想一定用到了球的反演性质....

creasson

把过程打出来后，感觉好没意思，以后不做题了

creasson

creasson

依稀记得好像是柯西型行列式

数学星空

k的代换很神奇！楼上的对于仿射几何了解很透彻，楼上的能否提供相关的资料，便于兄弟们开阔眼界！
我看了楼上的解答很自然，轻松，得到的答案也很简洁。但是，最终也是求解仿射系数（类似于消元），得到答案。看来，如何利用合理的特征式简化表达式也是一个难题，
因为楼上解决的几个问题，最终得到的表达式化简也并非易事，似乎也很难得到最终答案。当然表达式直攻主题，且对称，但消元也很难啊！
我赞同楼上的观点，传统的几何将走到尽头，射影几何将深刻的改变目前机械化数学算法。
再问一个问题：射影几何方法能否解决下面的问题
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=4289