求自行车的轨迹

ctchentong

问题是这样的：
把自行车的前后轮都看作一个点，并用线段连接起来，这样就把自行车 ”理想化“ 为了一条线段，假设为 AB 。
由于自行车的前轮负责控制方向，假设 A 为前轮。
现在给定初始条件：A 、B 的位置，AB 的长度，A 的前进角度（沿着 f(x,y)=0 在 A 点的切线），A 的初速度为 0，
那么当A沿着给定的曲线 f(x,y)=0 前进时，B 的轨迹是什么样的？

无心得而鬼神服

不结合物理实际，是不能求得的，可以有无数条

倪举鹏

那个角度永远固定吧？思路：将速度分解，一个垂直线段，一个平行线段，结果很好算的

BeerRabbit

看不太懂LZ的表述……

猜测：曲线f(x,y)=0的切线段（开端也就是切点为A）末端（B）的轨迹？

282842712474

看懂了题目~~就不能更数学地表达出来吗，干嘛用自行车，还理想化...

282842712474

$$f\left(x-l\cos(\arctan (-\frac{\partial f/\partial x}{\partial f/\partial y})+\theta),y-l\sin(\arctan (-\frac{\partial f/\partial x}{\partial f/\partial y})+\theta)\right)=0$$
这个？

hujunhua

前轮轨迹曲线` y=f(x)` 是后轮轨迹曲线`y=g(x)`的定长切线的端点轨迹.
从数学上看，已知`g(x)`, 容易计算f(x). 但是，后轮不是由前轮引导的吗，那么，已知`f(x)`,能否决定`g(x)`呢？

设 `y=f(x)`的参数方程为 `\left\{\begin{split}x&=x_A(t)\\y&=y_A(t)\end{split}\right.`,`y=g(x)`的参数方程为 `\left\{\begin{split}x&=x_B(t)\\y&=y_B(t)\end{split}\right.`
假定自行前后轮距离为单位长1，那么后轮决定前轮的公式为 `\left\{\begin{split}x_A&=x_B+\frac{x'_B}{\sqrt{x_B'^2+y_B'^2}}\\y_A&=y_B+\frac{y'_B}{\sqrt{x_B'^2+y_B'^2}}\end{split}\right.`

问题是，已知`x_A,y_A`的情况下，解上述关于`x_B,y_B`微分方程组。

hujunhua

当后轮的运动路线（橙色曲线）为一条正弦曲线时，由上述方程求得的前轮的运行轨迹（绛色曲线）。

倪举鹏

成了距离总为1的追击问题了，或者说成曵物问题。我有个绝妙方法，还是高二想到的，设这个为一的线段与曲线切线的夹角为函数W(x)，根据曲线求出W(x)。一般都是可以解出来的。那么另外一点轨迹就很好代换了

倪举鹏

跟圆在曲线上滚动求圆心轨迹的问题很像，那个是求法线然后截距1，这里求切线截距1.不过这里反着算