求通解

northwolves

x²+y²=x³+y³在有理域的通解

wayne

问题就是求：

$m^3+n^3=p(m^2+n^2)$ 的整数解

wayne

哈哈，继续根据m,n是否互质，分析得到通解：

$x=\frac{s (s^2+t^2)}{s^3+t^3}$ ,  $y=\frac{t (s^2+t^2)}{s^3+t^3}$

数学星空

问题就是求：

m^3+n^3=p(m^2+n^2) 的整数解
wayne 发表于 2010-1-22 11:45

这种说法是错误的....
求不定方程的整数解比求其有理数解困难的多,当然求其有理数的通解是也一件不容易的事, 通俗的讲求有理解相当于是求其有理参数表达式,有许多不定方程的有理通解有很多组不同的参数解...
其正整数解只有一组(x=y=1)

mathe

首先容易得出除了平凡解(x,y它们都是0,1之一)
x和y的既约分数表示分母相同,设$x=u/v,y=w/v,(u,w)=d,u=u_0*d,w=w_0*d$
得到$u_0^2(v-u_0d)=w_0^2(w_0d-v)$,设$(v-u_0d,w_0d-v)=h$
即${(w_0^2*h=v-u_0d),(u_0^2*h=w_0d-v):}$
消去v得到$(w_0^2+u_0^2)*h=(w_0-u_0)*d$
我们知道$(w_0^2+u_0^2,w_0-u_0)=(2u_0w_0,w_0-u_0)=(2,w_0-u_0)|2$
所以必然有通解
${(h=w_0-u_0),(d=w_0^2+u_0^2):}$或
${(h={w_0-u_0}/2),(d={w_0^2+u_0^2}/2):}$
比如我们选择$w_0=2,u_0=1$可以得到$h=1,d=5,w=10,u=5,v=9,x=5/9,y=10/9$

mathe

整理一下通解形式为
${(x={u_0(u_0^2+w_0^2)}/{w_0^3+u_0^3}),(x={w_0(u_0^2+w_0^2)}/{w_0^3+u_0^3}):}
同wayne的结果完全相同

wayne

4# 数学星空


，有mathe撑腰

northwolves

Very Good!!!
看懂了......

northwolves

令$x^3-x^2=y^3-y^2=a$
则$x,y,1-x-y$分别是方程$z^3-z^2-a=0$的三个根.
$xy+x(1-x-y)+y(1-x-y)=0$
$x^2+xy+y^2=x+y$
令$y=tx,t\in Q$,则:
$x^2+tx+t^2x^2=x+tx$
$x=\frac{t+1}{t^{2}+t+1},y=\frac{t^{2}+t}{t^{2}+t+1},t \in Q$

gxqcn

令 $y=tx, t\in QQ$，代入原方程，得
$x^2(1+t^2)=x^3(1+t^3)$
故有 $x=0$ 或 $x=(1+t^2)/(1+t^3)$
所以原方程在有理域的通解为：
${(x=0),(y=0):}$ 或 ${(x=0),(y=1):}$ 或 ${(x=(1+t^2)/(1+t^3)),(y=(t+t^3)/(1+t^3)):}\quadt\in QQ$