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[求助] a^2+ab+b^2=c^2的整数解

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发表于 2014-7-1 17:42:52 | 显示全部楼层 |阅读模式

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a^2+ab+b^2=c^2的所有整数解
有通项公式吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2014-7-1 17:44:44 | 显示全部楼层
比如
7,8,13是一组解答
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-7-1 18:14:53 | 显示全部楼层
一般都是考虑对于哪些c有解

点评

你说得很多对,这个问题也是我要问的  发表于 2014-7-1 18:17
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2014-7-1 18:16:26 | 显示全部楼层
我给出mathematica的代码,能够找到一部分解答.
暴力求解
  1. (*求整数解答*)
  2. Do[out={ToRules@Reduce[a^2+a*b+b^2==c^2&&a>0&&a<b&&c==n,{a,b,c},Integers]};(*调用reduce函数求解*)
  3.   If[Not[out==={}],(*如果解答存在的话*)
  4.      outabc={a,b,c}/.out;(*去掉a->这类符号,只保留结果*)
  5.      Map[Print,outabc](*通过映射打印出所有解答*)
  6.   ],
  7.    {n,0,200}
  8. ]
复制代码

求解结果.
  1. {3,5,7}

  2. {7,8,13}

  3. {6,10,14}

  4. {5,16,19}

  5. {9,15,21}

  6. {14,16,26}

  7. {12,20,28}

  8. {11,24,31}

  9. {15,25,35}

  10. {7,33,37}

  11. {10,32,38}

  12. {21,24,39}

  13. {18,30,42}

  14. {13,35,43}

  15. {16,39,49}

  16. {21,35,49}

  17. {28,32,52}

  18. {24,40,56}

  19. {15,48,57}

  20. {9,56,61}

  21. {22,48,62}

  22. {27,45,63}

  23. {35,40,65}

  24. {32,45,67}

  25. {30,50,70}

  26. {17,63,73}

  27. {14,66,74}

  28. {20,64,76}

  29. {33,55,77}

  30. {42,48,78}

  31. {40,51,79}

  32. {36,60,84}

  33. {26,70,86}

  34. {11,85,91}

  35. {19,80,91}

  36. {39,65,91}

  37. {49,56,91}

  38. {33,72,93}

  39. {25,80,95}

  40. {55,57,97}

  41. {32,78,98}

  42. {42,70,98}

  43. {40,77,103}

  44. {56,64,104}

  45. {45,75,105}

  46. {24,95,109}

  47. {21,99,111}

  48. {48,80,112}

  49. {30,96,114}

  50. {63,72,117}

  51. {51,85,119}

  52. {18,112,122}

  53. {44,96,124}

  54. {54,90,126}

  55. {13,120,127}

  56. {39,105,129}

  57. {70,80,130}

  58. {23,120,133}

  59. {35,112,133}

  60. {57,95,133}

  61. {65,88,133}

  62. {64,90,134}

  63. {69,91,139}

  64. {60,100,140}

  65. {77,88,143}

  66. {34,126,146}

  67. {48,117,147}

  68. {63,105,147}

  69. {28,132,148}

  70. {56,115,151}

  71. {40,128,152}

  72. {66,110,154}

  73. {55,120,155}

  74. {84,96,156}

  75. {25,143,157}

  76. {80,102,158}

  77. {69,115,161}

  78. {75,112,163}

  79. {72,120,168}

  80. {15,161,169}

  81. {91,104,169}

  82. {45,144,171}

  83. {52,140,172}

  84. {75,125,175}

  85. {104,105,181}

  86. {22,170,182}

  87. {38,160,182}

  88. {78,130,182}

  89. {98,112,182}

  90. {27,168,183}

  91. {35,165,185}

  92. {66,144,186}

  93. {81,135,189}

  94. {50,160,190}

  95. {32,175,193}

  96. {110,114,194}

  97. {105,120,195}

  98. {64,156,196}

  99. {84,140,196}

  100. {56,165,199}
复制代码
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2014-7-1 18:20:26 | 显示全部楼层
再加一个限制条件吧,
如果a=0或者b=0,这个解答是平凡的,没有意义的.
同时限制c>0
以及由于对称,限制a<b
以及
a与b互质!

综上:
0<a<b
c>0
GCD[a,b]=1
这是几个求解条件
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2014-7-1 18:23:55 | 显示全部楼层
cn8888 发表于 2014-7-1 18:20
再加一个限制条件吧,
如果a=0或者b=0,这个解答是平凡的,没有意义的.
同时限制c>0

在上面的条件限制下:
  1. (*求整数解答*)
  2. Do[out={ToRules@Reduce[a^2+a*b+b^2==c^2&&0<a&&a<b&&c==n&&GCD[a,b]==1,{a,b,c},Integers]};(*调用reduce函数求解*)
  3.   If[Not[out==={}],(*如果解答存在的话*)
  4.      outabc={a,b,c}/.out;(*去掉a->这类符号,只保留结果*)
  5.      Map[Print,outabc](*通过映射打印出所有解答*)
  6.   ],
  7.    {n,0,200}
  8. ]
复制代码

求解结果如下:
  1. {3,5,7}
  2. {7,8,13}
  3. {5,16,19}
  4. {11,24,31}
  5. {7,33,37}
  6. {13,35,43}
  7. {16,39,49}
  8. {9,56,61}
  9. {32,45,67}
  10. {17,63,73}
  11. {40,51,79}
  12. {11,85,91}
  13. {19,80,91}
  14. {55,57,97}
  15. {40,77,103}
  16. {24,95,109}
  17. {13,120,127}
  18. {23,120,133}
  19. {65,88,133}
  20. {69,91,139}
  21. {56,115,151}
  22. {25,143,157}
  23. {75,112,163}
  24. {15,161,169}
  25. {104,105,181}
  26. {32,175,193}
  27. {56,165,199}
复制代码
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发表于 2014-7-1 18:28:54 | 显示全部楼层
\(\D a^2+ab+b^2=c^2 \implies \left(\frac a c\right)^2+\left(\frac a c\right)\left(\frac b c\right)+\left(\frac b c\right)^2=1\implies m^2+mn+n^2=1\)

令 \(n=km-1\),
可得到 \(m^2+m(km-1)+(km-1)^2=1\)

\((k^2+k+1)m^2-(2k+1)m=0\)

\(\D m=0;\ m=\frac{2k+1}{k^2+k+1}\)

点评

只是为了消掉等号后面的1  发表于 2014-7-1 18:53
为什么不是n=km+2?????  发表于 2014-7-1 18:34
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发表于 2014-7-1 18:30:02 | 显示全部楼层
对于$m=0$的情况,可得到一组通解$(0,k,k)$

点评

呵呵,这个解答是平凡解没太大意义  发表于 2014-7-1 18:33
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2014-7-1 18:30:50 | 显示全部楼层
cn8888 发表于 2014-7-1 18:23
在上面的条件限制下:

求解结果如下:

在上面的解答中,只有
{49, 91, 91, 133, 133, 169}
是合数
其中49与169是完全平方
91与133都是给出了两组解答
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 楼主| 发表于 2014-7-1 18:39:45 | 显示全部楼层
在c的可能解答中
{199, 211, 217, 217, 223, 229, 241, 247, 247, 259, 259, 271, 277, \
283, 301, 301, 307, 313, 331, 337, 343, 349, 361, 367, 373, 379, 397}
不是素数的
{217, 217, 247, 247, 259, 259, 301, 301, 343, 361}
要么是两组解答,要么是立方数或者平方数

点评

343=7^3,361=19^2  发表于 2014-7-1 19:00
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