有关复系数多项式完全判别系统

mathe

理论分析，有了实系数多项式的结论足够了，复系数多项式并不增加任何新东西。
如果复系数多项式写成f(x)+i*g(x),其中f(x),g(x)都是实系数，那么其实根必然同时是f,g的实根，也就是计算(f,g)即可

数学星空

如果复系数多项式写成f(x)+i*g(x),其中f(x),g(x)都是实系数，那么其实根必然同时是f,g的实根，也就是计算(f,g)即可
这个结论,论文里有列出,现在是如何实现论文中的算法??

wayne

12# 数学星空
到了这一步应该比较明了了,只需求这两个多项式的公因式即可.

如果系数是复数,就替换成a+b i ,接下来同理.

数学星空

例如:
设$a,b,c$为实数,且关于x的方程$ x^6+(2*a+b^2)*x^4+(a*c+b)*x^3+(3*c^2+a*b)*x+a^2-b*c=0 $有两个实根,求参数$a,b,c$应满足的条件?

wayne

http://bbs.emath.ac.cn/thread-2509-1-1.html

数学星空

对于$x^6+a*x^4+b*x^3+c*x+d=0$ 参系数方程有两个实根的条件为下列四个条件之一成立：
(1) $R1<= 0, R3<= 0, R4< 0$
(2)$0 <= R1, R2 <= 0, 0 <= R3, R4< 0$
(3) $0 <= R1, 0 <= R2, R3<= 0, R4 < 0$  
(4) $0 <= R2, 0 <= R3, R4< 0$
其中：$R1=8*a^3+27*b^2$
            $R2=-32*a^3*d+4*a^3*b^2-100*a*c^2+40*c*b*a^2-108*b^2*d+27*b^4$
            $ R3=-64*a^4*d^2+24*a^5*c^2-432*a*d^3+27*b^5*c+4*a^3*b^3*c+8*a^4*b^2*d+360*c^2*a^2*d-800*a*c^3*b$                  
                    $ +186*b^2*a^2*c^2-108*a*b^2*d^2-378*d*c*b^3+54*b^4*d*a+1080*b*d^2*c-24*a^3*d*c*b+625*c^4$
            $ R4=-34992*b^2*d^4+8748*b^4*d^3-729*b^6*d^2-108*b^5*c^3+13824*a^3*d^4-108*a^5*c^4+1024*a^6*d^3-3125*c^6+46656*d^5+$         
                   $32400*a*c^2*d^3-825*b^2*c^4*a^2+3750*a*c^5*b-1500*a^2*c^4*d-27000*b*d^2*c^3-16*a^3*b^3*c^3- $  
                   $108*a^3*b^4*d^2+1350*b^3*d*c^3+8640*a^3*d^3*b^2+120*a^3*d*b*c^3-768*a^5*d^2*b*c-24*b^2*c^2*d*a^4-$           
                   $ 46656*b*c*a^2*d^3-5832*b^3*c*d^2*a^2+27540*a*c^2*d^2*b^2-162*a*c^2*b^4*d+192*a^4*d^2*c^2$

数学星空

虽然我们可以得到以上的结论，但是需要花费很多时间，并且容易漏算，能用软件自动给出答案是我们必须面对的问题！毕竟摆在我们面前的难题太多太多．．．．．

格牛

有个小问题：杨路等在他的论文以及专著《非线性代数方程组与定理机器证明》中对这个定理的表述是：
    设f（x），g（x）都是实系数多项式，f（x）的判别式序列的符号修订表的变号数为v，含有p个非零项，则f（x）的互异实根数为p-2v。
    问题是f（x）的判别式序列到底是：
                                         D0，D1，D2，…，Dn，
还是
                                            D1，D2，…，Dn？
这里D0=1，而Di（1≤i≤n）为f（x）与其导数的西尔维斯特矩阵。
    按照杨路等的论文中是指
                                           D1，D2，…，Dn？
可是按照论文的想法，计算了n次，实根的个数不是p-2v。
    陈 日文和夏壁灿的论文《区间上多项式根数目的显式判定》指的是
                             D0，D1，D2，…，Dn。