数学奥林匹克升级题

shshsh_0510

to kofeffect:

03-3.试在平面上标出7个点，使得其中任何3个点都有某两个点的距离等于1。

看看这个行不？

kofeffect

任何3个点都有某两个点的距离等于1。

应该不对吧

shshsh_0510

是不对

kofeffect

如昨天给你的信息，我作完4个点，第五点不知如何作了，下不了手了
题目的关键地方是，某两个点的距离为1

我推得前面三个点必为等边三角形的3个点，第4个点与前面3点的其中两个点也是构成正三角形
第五个点想不出来了

shshsh_0510

在5边形添两个点不可能。
在4边形中最多可添2个点，也就是6个点的方案。
严重怀疑7个点的存在性

shshsh_0510

在详细一点：5个点，5边形就是一种方案。只需证明任何3个顶点，必有一对相邻

kofeffect

先取第一点A，
再取两点B和C，我们假设AB=AC=1
如果BC!=1，那么再取一点D,与B点和C点组合时
必定要求BD=CD=1,这样必定D与A点是关于线段BC对称
现在再取一点E，取点B,C,E组合，显然E点只有与B或D重合可能了
所以BC!=1的假设不成立

只有取BC=1(AB=BC=CA=1)
已经有A,B,C三点，现在取D点
如图所示，假设D取的是D'位置，显然有CB=CD=1，取点成功;
继续取点E'，我们看BD'E'组合，BD'!=1,那么必须要BE'=D'E'=1,可以找到这样的点，以D'为圆心，以CD'为半径作圆，找到该圆与以B为圆心BC为半径的圆的交点即可，假设为D''
不过显然，D''与B和C点的组合就不合题意了(即D''已经在圆A以及圆C之外了）
由对称性，知D'只能在图中的D点位置，好，这是第四点

下面再找第五点E点
如何取？

kofeffect

原帖由 shshsh_0510 于 2008-6-26 10:28 发表
在详细一点：5个点，5边形就是一种方案。只需证明任何3个顶点，必有一对相邻

可以吗？
任意3个点中有某两个点的距离为1吗？

Mgccl

原帖由 mathe 于 2008-6-26 06:32 发表

证明不完整。A还可能被其他航天飞机上天文学家观察

换一个方式...
将飞机之间按照距离排序出来. 设a,b飞机之间距离最短,则,a,b之间互相相望.
1.如果能够找到一个距离第n短的两个飞机中,包括距离第n-1短中的一个飞机, 则有一个飞机被两个天文学家观察.
2.如果任意一个距离第n短的两个飞机中,都不包括第n-1短中的一个飞机,则两两观察.
因为有2005个飞机,则后面的不可能成立.
所以至少会有一个飞机不被观察.

mathe

原帖由 Mgccl 于 2008-6-26 12:01 发表

换一个方式...
将飞机之间按照距离排序出来. 设a,b飞机之间距离最短,则,a,b之间互相相望.
1.如果能够找到一个距离第n短的两个飞机中,包括距离第n-1短中的一个飞机, 则有一个飞机被两个天文学家观察.
2.如果任意 ...

基本思路比较正确，不过1）好像有些问题。