三角形的心迹

creasson

简化下，记号$\alpha  = \angle BPC,\gamma  = \angle APB,u = \tan \frac{\alpha }{2}$
然后令\[{z_B} = 0,{z_C} = 1,{z_A} = \frac{{\left( {s + t} \right)\left( {1 - st} \right)}}{{s{{\left( {1 - it} \right)}^2}}},{z_P} = \frac{{\left( {u + v} \right)\left( {1 - uv} \right)}}{{u{{\left( {1 - iv} \right)}^2}}}\]
,
那么曲线方程是\[{e^{i\gamma }} - \frac{{\left( {s + t} \right)\left( {1 - st} \right)}}{{s{{\left( {1 - it} \right)}^2}}}\frac{{u{{\left( {1 - iv} \right)}^2}}}{{\left( {u + v} \right)\left( {1 - uv} \right)}}{e^{i\gamma }} \in R\]
注：式中参数$s,t,u,v$为角度之半的正切.

数学星空

\(m(A-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3}+2k\pi \in[0,\pi]\)

\(m(B-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3}+2k\pi \in[0,\pi]\)

\(m(C-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3}+2k\pi \in[0,\pi]\)

针对\(k=0,1,2,3,4,5\)计算满足上述条件的\(m\)值，然后针对每一个\(m\)值计算满足：

\(a^2=y^2+z^2-2yz\cos(m(A-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3}+2k\pi)\)

\(b^2=x^2+z^2-2xz\cos(m(B-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3}+2k\pi)\)

\(c^2=y^2+x^2-2yx\cos(m(C-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3}+2k\pi)\)

取\(a=3,b=4,c=4.5,A[2,0],C[-2,0]\)

\(k=0,-3.125722446\leqslant m \leqslant 6.251444898\),均匀取10000个点，结果只有6750个解是正解，见下图





\(k=1,-21.88005713 \leqslant m \leqslant 25.00577959\)，均匀取10000个点，结果只有4190个解是正解，见下图





\(k=2,-40.63439182 \leqslant m \leqslant 43.76011427\)，均匀取10000个点，结果只有3990个解是正解，见下图





\(k=3,-59.38872651\leqslant m \leqslant 62.51444896\)，均匀取10000个点，结果只有4000个解是正解，见下图





\(k=4,-78.14306120\leqslant m \leqslant 81.26878365\)，均匀取10000个点，结果只有4080个解是正解，见下图





\(k=5,-96.89739589 \leqslant m \leqslant 100.0231183\)，均匀取10000个点，结果只有4150个解是正解，见下图





将以上\(k=0,1,2,3,4,5\)全部叠加在一起如下图

hujunhua

将一个三角形绕LH(1,1)旋转一个角度，则源与像的对应边交点构成一个正三角形。
已经数值验证，求证明。

mathe

其他心就不可以吗?

hujunhua

网络画板图

hujunhua

对于LH(1,1)的趣味，第一感是在将三角形绕LH(1,1)旋转60°形成的图中探寻，如下图左。
因为图中包括三个正三角形，周角H剩下的一半被分成的三个角刚好分别∠A、∠B、∠C，
这种特征应该蕴含一些特殊的关系。
第一感觉，△AB'H, △HBC', △A'HC极像与原三角形ABC相似。动态几何验证，果然不差。
第二发现，如下图右，△A*B*C*与原三角形ABC相似。动态几何验证正确。

左

中

第三发现，如下图，六边形的 3 条大对角线共点。这一点可能如@mathe所踩，不一定非得LH(1,1)吧。

右

不过，这些都还有待严格证明。

hujunhua

由上45#和46#可以抽出以下命题：

倚一个三角形的各边依次向外作顶角120°的等腰三角形，那么仨等腰三角形的顶点构成正三角形。

动态几何图见这里，可以移动顶点

图中给出了巧妙的辅助线，揭示了证明方法。

hujunhua

想起本站的@wiley提到过一个三角形中心百科大全的网站，在本坛搜了半天（主要是wiley的名字没搞准）终于找到wiley的回帖和网站链接。

在三角形中心大全（ETC）上查到LH(1,1), 为X(15)，排名还是相当靠前的。

名曰第一等力点（1st Isodynamic point）,不知何以得名，有何力学背景。

wayne

hujunhua 发表于 2016-8-7 01:50
想起本站的@wiley提到过一个三角形中心百科大全的网站，在本坛搜了半天（主要是wiley的名字没搞准）终于找 ...

我记得以前看过一本物理竞赛书。讲的是 作用于同一个点的 三个力的受力平衡问题。三个力两两交叉成一个角度。当该点达到静力平衡时，该点叫做 等力点。 三个力对应成比例，比例值为对角的正弦之比。

所以形象的说起来，就是\( \triangle{ABC}\) 所在平面内， 满足关系 \( \frac{| \overrightarrow{AS}|}{\sin(\angle BSC)}=  \frac{| \overrightarrow{BS}|}{\sin(\angle CSA)} = \frac{| \overrightarrow{CS}|}{\sin(\angle ASB)} \) 的点\( S\)就做 \( \triangle{ABC}\)的等力点

数学星空

http://bbs.emath.ac.cn/thread-5094-1-1.html  第28#