情况iii)
n = 5,每两个相邻顶点能和3个内点组成三角形
n = 6, 是6个
n = 7, 是10个
今年小学六年级寒假作业:
正六边形的对角线及边可构成多少个三角形
内点数量
n = 41
n = 55
n = 613
n = 731??
9#有错误, 已经修改
所有n个顶点可组成$C_n^3$个三角形
六边形可组成102个
http://zhidao.baidu.com/question/68679437.html
重新来计算
n >= 7的
首先考虑下三种情况
A、三角形由顶点组成
则共有$C_n^3$个
情况B
三角形由两个顶点和一个对角线交点（内点组成）
1、两个顶点相邻
则内点必然是由两个顶点出发的对角线相交而成
对顶点逆时针编号1, 2, ..., n
考虑1，2顶点，1的对角线和2的相交
假设是1a和2b相交，必然有b < a， 且a > 3
这种情况即$a in , b in $
即有$sum_{n=1}^{n-3} = {(n-2)(n-3)} / 2 = C_{n-2}^2$种
而两个顶点相邻的情况是n种，则总数量是
$n C_{n-2}^2$
2、两个顶点不相邻
假设第一个顶点是1， 第二个顶点是x
显然，1a, xb相交的条件是
1)a, b在1x的下面,
则有
$2 < x < n - 1, a in , b in $
共有$sum_{a = x + 1}^{n-1} (n - a) = {(n - x - 1)(n - x)} / 2$种
2)另外一面
$3 < x < n, a in , b in $
共$sum_{a=3}^{x-1} a - 2 = {(x - 2)(x - 3)} / 2$种
对所有$x$求值
结果是$sum_{x=3}^{n-2} {(n - x - 1)(n - x)} / 2 + sum_{x=4}^{n-1} {(x - 2)(x - 3)} / 2 = {n^3- 12 n^2+ 47 n-60} / 3$
基于对称性原则,上面的结果乘以$(C_n^2 - n)$将得到所有的情况数
情况C
三角形由一个顶点和两个内点组成
考虑顶点1
则两个内点必然在
$1a, 1b, a, b in , b < a $
对角线上
同时有两个内点在对角线
$xy, x, y in , x < b, y > a, x != y$
上
情况C必须考虑到，偶数边的正多边形的大对角线（平分多边形的，比如编号1，n/2的两个顶点组成的）必然相交于一点