小学生的难题

无心人

情况iii) n = 5,每两个相邻顶点能和3个内点组成三角形 n = 6, 是6个 n = 7, 是10个

northwolves

今年小学六年级寒假作业: 正六边形的对角线及边可构成多少个三角形

无心人

内点数量 n = 4 1 n = 5 5 n = 6 13 n = 7 31??

无心人

9#有错误, 已经修改 所有n个顶点可组成$C_n^3$个三角形

无心人

六边形可组成102个

无心人

http://zhidao.baidu.com/question/68679437.html

无心人

重新来计算 n >= 7的 首先考虑下三种情况 A、三角形由顶点组成 则共有$C_n^3$个

无心人

情况B 三角形由两个顶点和一个对角线交点（内点组成） 1、两个顶点相邻 则内点必然是由两个顶点出发的对角线相交而成 对顶点逆时针编号1, 2, ..., n 考虑1，2顶点，1的对角线和2的相交 假设是1a和2b相交，必然有b < a， 且a > 3 这种情况即$a in [4..n-1], b in [3..a-1]$ 即有$sum_{n=1}^{n-3} = {(n-2)(n-3)} / 2 = C_{n-2}^2$种 而两个顶点相邻的情况是n种，则总数量是 $n C_{n-2}^2$

无心人

2、两个顶点不相邻 假设第一个顶点是1， 第二个顶点是x 显然，1a, xb相交的条件是 1)a, b在1x的下面, 则有 $2 < x < n - 1, a in [x+1..n-1], b in [a+1..n]$ 共有$sum_{a = x + 1}^{n-1} (n - a) = {(n - x - 1)(n - x)} / 2$ 种 2)另外一面 $3 < x < n, a in [3..x-1], b in [2..a-1]$ 共$sum_{a=3}^{x-1} a - 2 = {(x - 2)(x - 3)} / 2$种 对所有$x$求值 结果是 $sum_{x=3}^{n-2} {(n - x - 1)(n - x)} / 2 + sum_{x=4}^{n-1} {(x - 2)(x - 3)} / 2 = {n^3- 12 n^2+ 47 n-60} / 3$ 基于对称性原则,上面的结果乘以$(C_n^2 - n)$将得到所有的情况数

无心人

情况C 三角形由一个顶点和两个内点组成 考虑顶点1 则两个内点必然在 $1a, 1b, a, b in [3..n-1], b < a $ 对角线上 同时有两个内点在对角线 $xy, x, y in [2..n], x < b, y > a, x != y$ 上 情况C必须考虑到，偶数边的正多边形的大对角线（平分多边形的，比如编号1，n/2的两个顶点组成的）必然相交于一点