小学生的难题

无心人

情况iii)
n = 5,每两个相邻顶点能和3个内点组成三角形
n = 6, 是6个
n = 7, 是10个

northwolves

今年小学六年级寒假作业:
正六边形的对角线及边可构成多少个三角形

无心人

内点数量
n = 4  1
n = 5  5
n = 6  13
n = 7  31??

无心人

9#有错误, 已经修改
所有n个顶点可组成$C_n^3$个三角形

无心人

六边形可组成102个

无心人

http://zhidao.baidu.com/question/68679437.html

无心人

重新来计算
n >= 7的
首先考虑下三种情况
A、三角形由顶点组成
    则共有$C_n^3$个

无心人

情况B
    三角形由两个顶点和一个对角线交点（内点组成）
1、两个顶点相邻
    则内点必然是由两个顶点出发的对角线相交而成
    对顶点逆时针编号1, 2, ..., n
    考虑1，2顶点，1的对角线和2的相交
   假设是1a和2b相交，必然有b < a， 且a > 3
   这种情况即$a in [4..n-1], b in [3..a-1]$
   即有$sum_{n=1}^{n-3} = {(n-2)(n-3)} / 2 = C_{n-2}^2$种
  而两个顶点相邻的情况是n种，则总数量是
  $n C_{n-2}^2$

无心人

2、两个顶点不相邻
       假设第一个顶点是1， 第二个顶点是x
      显然，1a, xb相交的条件是
      1)a, b在1x的下面,
      则有
      $2 < x < n - 1, a in [x+1..n-1], b in [a+1..n]$
      共有$sum_{a = x + 1}^{n-1} (n - a) = {(n - x - 1)(n - x)} / 2$  种
      2)另外一面
      $3 < x < n, a in [3..x-1], b in [2..a-1]$
       共$sum_{a=3}^{x-1} a - 2 = {(x - 2)(x - 3)} / 2$种

     对所有$x$求值
   
     结果是  $sum_{x=3}^{n-2} {(n - x - 1)(n - x)} / 2   + sum_{x=4}^{n-1} {(x - 2)(x - 3)} / 2 = {n^3- 12 n^2+ 47 n-60} / 3$

      基于对称性原则,上面的结果乘以$(C_n^2 - n)$将得到所有的情况数

无心人

情况C
  三角形由一个顶点和两个内点组成
  考虑顶点1
  则两个内点必然在
  $1a, 1b, a, b in [3..n-1], b < a $
  对角线上
  同时有两个内点在对角线
  $xy, x, y in [2..n], x < b, y > a, x != y$
上
情况C必须考虑到，偶数边的正多边形的大对角线（平分多边形的，比如编号1，n/2的两个顶点组成的）必然相交于一点