小学生的难题

shshsh_0510

如果知道各对角线交点的分布情况，这个应该不很难。mathe 的那个公式是个总数，如果能知道其分布情况（既每个焦点都是几点共线），那么这个也就可以解决了。 我想那篇论文应该也作了相应分析吧，否则他的不出总数

mathe

还真是小学生题目 通过google搜索出一篇台湾小学生的文章: http://science.boe.tcc.edu.tw/up ... %80%8B%E6%95%B8.doc 里面给出了公式,只是作者不知道3点共线组的数目,所以对于偶数边形只能算到n=20,然后给出了一个带参数$M_n$的公式,其中$M_n$表示三点共线组的数目. 而结合上面的论文就可以完全给出公式了

无心人

不过, 你们说的东西 不如我用整数序列描述的好计算 三点共线应该能描述出来具体顶点编号特征吧

mathe

原来那个作者到mit取了,新的论文的链接在: http://math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf

无心人

n = 7 A $C_7^3 = 35$ B1 $7 C_5^2 = 210$ B2 $(C_7^2 - 7)(7^3 - 12*7^2 + 47*7 - 60) / 3 = 112$

mathe

现在把那个文章一些结论大概介绍一下把,这样大家就可以比较容易的直接使用结论了. 文章首先目的是计算出所有三条对角形共线的情况.所以假设单位圆周上顺序的6个点A,B,C,D,E,F;现在要给出一个对角线AD,BE,CF三线共点的充分必要条件. 文章中分别用字母u,x,v,y,w,z代表6个点将圆周划分成的弧长,而采用大写字母$U=u/{pi}$,同样有X,V,Y,W,Z等. 而第一个结论就是三线共点的充分必要条件为 ${(sin(piU)sin(piV)sin(piW)=sin(piX)sin(piY)sin(piZ)),(U+V+W+X+Y+Z=1):}$ 于是问题转化为计算上面方程的正有理数解. 然后文章中表格4给出了上面方程组的所有正有理数解,总共65组. (但是好像不包含交点在正多面体中心的平凡解) 而这个表格就是我们所需要的

无心人

B2的描述存在问题 在实际用haskell算时, 结果存在不相交的点 ============================== 已经修正了 而且发现可以得到公式,在尝试计算中 19#利用PARI计算得到了结果 谁给核验下

mathe

哦,还有表格3也是解. 也就是所有解分三种: i)平凡解(交点在正多边形中心的情况) ii)表格3中的4组解,文中成为单参数解 iii)表格4中的65个解,文中称为零星解.

mathe

我们现在可以对结果进行会总,如下分类: i)三个顶点都是正多边形顶点,共$C_n^3$个 ii)两个顶点为多边形顶点,一个内点.假设两个顶点为a,b,那个内点为对角线ac和bd交点,那么4个点的顺序必然为abcd. 所以对于多边形任意4个点($C_n^4$种选择),可以有4种不同的选择方案来选择ab两个点,所以这种情况总共$4*C_n^4$个. iii)一个顶点为多边形顶点,两个内点.假设这个顶点为a,三角形两条边为对角形ac和ad,另外一条边在对角线be,那么排列顺序必然为a,b,c,d,e.所以在固定a点的情况下,有$C_{n-1}^4$种不同方案,总共$n*C_{n-1}^4$个三角形. iv)所有顶点都是内点,先不考虑三线共点的情况,相当于任意6个点确定一个三角形,共$C_n^6$个三角形 然后将它们累加再减去所有三线共点组合数目就可以了.

northwolves

3 1 4 8 5 35 6 110 7 287 8 632 9 1302 10 2400 11 4257 12 6956 13 11297 14 17234 15 25935 16 37424 17 53516 18 73404 19 101745 20 136200 21 181279 22 236258 23 306383 24 389264 25 495650 26 620048 27 772785 28 951384 29 1167453 30 1410350 31 1716191 32 2058848 33 2463384 34 2924000 35 3462305 36 4067028 37 4776219 38 5568786 39 6479551 40 7497560 41 8659118 42 9938852 43 11415425 44 13036760 45 14864025 46 16878642 47 19136943 48 21607904 49 24384164 50 27412400 51 30775185 52 34443656 53 38500631 54 42899382 55 47773935 56 53045832 57 58833082 58 65093168 59 71942417 60 79293980 61 87394517 62 96073154 63 105512127 64 115651776 65 126650160 66 138417092 67 151197761 68 164847368 69 179580435 70 195315890 71 212262239 72 230308560 73 249748038 74 270417312 75 292585825 76 316146776 77 341369105 78 368102462 79 396739343 80 427051760 81 459388476 82 493611792 83 530061489 84 568537844 85 609559055 86 652811810 87 698740239 88 747170600 89 798525266 90 852561900 91 909898353 92 970168152 93 1033910605 94 1100909858 95 1171682975 96 1245952448 97 1324409288 98 1406666912 99 1493359329 100 1584222600 101 1679881995 102 1779997070 103 1885408511 104 1995640088 105 2111455710 106 2232536384 107 2359629377 108 2492337276 109 2631627657 110 2776964850 111 2929244527 112 3088085840 113 3254373332 114 3427629716 115 3609010385 116 3797867144 117 3995258631 118 4200734274 119 4415331375 120 4638444560 121 4871556074 122 5113774448 123 5366378193 124 5628839384 125 5902365125 126 6186304278 127 6482210175 128 6789212544 129 7108736608 130 7440168320 131 7784901761 132 8142196964 133 8513801219 134 8898751730 135 9298673055 136 9712856568 137 10142902134 138 10587957908 139 11050024481 140 11527996760 141 12023731713 142 12536416466 143 13067875535 144 13617153504 145 14186472300 146 14774626512 147 15383707633 148 16012789256 149 16663941119 150 17336052350 151 18031711055 152 18749477096 153 19491739266 154 20257447056 155 21048935985 156 21864976796 157 22708404797 158 23577674978 159 24475447647 160 25400538080 161 26355569912 162 27339165036 163 28354485537 164 29399813256 165 30478122235 166 31588082066 167 32732626751 168 33910193072 169 35124370190 170 36373178240 171 37659953409 172 38983208664 173 40346212473 174 41747247134 175 43190224175 176 44673018896 177 46199311620 178 47767446320 179 49381049873 180 51038158500 181 52743271671 182 54493866882 183 56294073199 184 58142053832 185 60041819930 186 61991270276 187 63995152529 188 66050899160 189 68162992821 190 70329402690 191 72554549823 192 74836132736 193 77179325840 194 79581351488 195 82047122625 196 84574401800 197 87168047603 198 89825529222 199 92552520159 200 95345974200 201 98211277990 202 101145973280 203 104155383521 204 107236738412 205 110396230385 206 113630539154 207 116945549967 208 120338570352 209 123815418012 210 127373016260 211 131018261297 212 134747388680 213 138566864367 214 142473746594 215 146474376335 216 150565473648 217 154754317746 218 159037035984 219 163420587505 220 167901767000 221 172487469869 222 177174111278 223 181969641503 224 186869807264 225 191882178600 226 197003270688 227 202240564065 228 207590181380 229 213060694763 230 218647535570 231 224358888831 232 230190975128 233 236151893054 234 242237449116 235 248456890305 236 254805296088 237 261291507049 238 267911432306 239 274673820911 240 281574042080 241 288622368308 242 295813193456 243 303156152145 244 310646826120 245 318294649575 246 326094736478 247 334057819823 248 342178190216 249 350466112074 250 358916822000 251 367540473425 252 376331787468 253 385302356901 254 394445987586 255 403773729535 256 413280457472 257 422977080512 258 432857958020 259 442935429377 260 453202947080 261 463672334307 262 474338085234 263 485211900447 264 496287749936 265 507578788310 266 519078064736 267 530798222241 268 542733356888 269 554895998945 270 567279650070 271 579898496079 272 592744985904 273 605832680908 274 619155259472 275 632726119025 276 646538356820 277 660606983135 278 674924072930 279 689504061903 280 704340192360 281 719446768866 282 734816416292 283 750465151409 284 766384513112 285 782589899805 286 799074097250 287 815852356319 288 832916846016 289 850284524376 290 867946479840 291 885919077793 292 904194628232 293 922789370075 294 941694920222 295 960929443775 296 980483333720 297 1000374039918 298 1020593375232 299 1041158607489 300 1062060752300 301 1083319312985 302 1104923877170 303 1126893050031 304 1149218127248 305 1171917449060 306 1194981593436 307 1218430887057 308 1242254648712 309 1266472497367 310 1291075189250 311 1316082179567 312 1341483485264 313 1367300609402 314 1393522271024 315 1420169248785 316 1447231738584 317 1474730355861 318 1502654508686 319 1531026995135 320 1559835838400 321 1589103047664 322 1618818235328 323 1649003221313 324 1679646823092 325 1710773061075 326 1742369358258 327 1774458959455 328 1807030871864 329 1840108166918 330 1873678970900 331 1907768802401 332 1942364231768 333 1977489863889 334 2013134076690 335 2049321239055 336 2086038811808 337 2123313715964 338 2161131788816 339 2199518993841 340 2238463057160 341 2277989693903 342 2318085729558 343 2358779370255 344 2400055861800 345 2441942520850 346 2484426396752 347 2527534598513 348 2571253242332 349 2615612022029 350 2660595414050 351 2706232187295 352 2752508690976 353 2799453478536 354 2847051920228 355 2895335279585 356 2944287206792 357 2993937985227 358 3044273238098 359 3095323012607 360 3147071772240 361 3199552812702 362 3252748521024 363 3306690881857 364 3361364768216 365 3416801773385 366 3472985723102 367 3529951109231 368 3587679917648 369 3646205591700 370 3705512227440 371 3765633015249 372 3826550982260 373 3888302278343 374 3950868052802 375 4014283395375 376 4078531600136 377 4143647508650 378 4209613283484 379 4276466900433 380 4344188531160 381 4412815005061 382 4482328786562 383 4552766421119 384 4624109242112 385 4696396923680 386 4769608814720 387 4843783476609 388 4918902518280 389 4995004244931 390 5072069037230 391 5150138607263 392 5229191169272 393 5309267168310 394 5390347329248 395 5472471771425 396 5555620020060 397 5639835511233 398 5725095666642 399 5811442746319 400 5898856564400 401 5987379111980 402 6076988937140 403 6167731533041 404 6259583224328 405 6352588236735 406 6446725444194 407 6542038765647 408 6638505794960 409 6736173990722 410 6835018701200 411 6935086124337 412 7036354166360 413 7138868733437 414 7242606403110 415 7347616752735 416 7453874030304 417 7561426497976 418 7670251063904 419 7780395679265 420 7891835642180 421 8004623414459 422 8118731408018 423 8234210242623 424 8351035800024 425 8469258137550 426 8588851713524 427 8709870521345 428 8832286520024 429 8956152278073 430 9081442619570 431 9208209767471 432 9336427123104 433 9466150838724 434 9597351823920 435 9730084844305 436 9864323637128 437 10000122653879 438 10137454126238 439 10276376668271 440 10416859868360 441 10558960833498 442 10702652181936 443 10847990654865 444 10994947339004 445 11143583211125 446 11293866669122 447 11445857168703 448 11599526179136 449 11754932795984 450 11912046849900 451 12070931977665 452 12231555121416 453 12393978229171 454 12558171588146 455 12724196711135 456 12892022279600 457 13061714243942 458 13233238469408 459 13406659322337 460 13581945877080 461 13759162130097 462 13938275445710 463 14119354554767 464 14302363811696 465 14487370202460 466 14674341554576 467 14863344412721 468 15054344917092 469 15247414273455 470 15442515664290 471 15639718635919 472 15838989737384 473 16040398129778 474 16243908596324 475 16449595178225 476 16657419559256 477 16867454013165 478 17079663775650 479 17294120690463 480 17510787992000 481 17729743105256 482 17950945701152 483 18174471007329 484 18400282913672 485 18628456016555 486 18858952366182 487 19091851638399 488 19327112658840 489 19564813279486 490 19804916008640 491 20047498263233 492 20292520665548 493 20540065845545 494 20790091115378 495 21042677230575 496 21297785284560 497 21555495586548 498 21815767279124 499 22078686061649 500 22344207653000 501 22612415799975 502 22883270144450 503 23156853957551 504 23433124846320 505 23712171718410 506 23993948596464 507 24278542310737 508 24565911017432 509 24856141023077 510 25149188388110 511 25445145220607 512 25743963891200 513 26045734361472 514 26350413264384 515 26658090013185 516 26968719163748 517 27282395869091 518 27599071040114 519 27918837764895 520 28241651118200 521 28567603695254 522 28896648444540 523 29228883830433 524 29564259074904 525 29902870533025 526 30244671682898 527 30589758374735 528 30938081923232 529 31289744153228 530 31644692586320 531 32003026909041 532 32364698967048 533 32729807942559 534 33098303435582 535 33470290831055 536 33845715788648 537 34224681445794 538 34607137976336 539 34993187969201 540 35382779119980 541 35776020912093 542 36172856643426 543 36573393130975 544 36977578840160 545 37385519845400 546 37797162224276 547 38212618655393 548 38631831017096 549 39054909558939 550 39481800997650 551 39912614969535 552 40347295823600 553 40785959733806 554 41228546898176 555 41675171149185 556 42125777417432 557 42580478981657 558 43039218338838 559 43502115483567 560 43969108648080 561 44440315411492 562 44915678877104 563 45395316044177 564 45879167529140 565 46367357200535 566 46859821311746 567 47356681257711 568 47857878276168 569 48363533169210 570 48873584558660 571 49388160483089 572 49907194961624 573 50430813360213 574 50958955008962 575 51491744592575 576 52029118880640 577 52571209621680 578 53117949101760 579 53669466556993 580 54225699370760 581 54786776194451 582 55352631740462 583 55923402035039 584 56499017104952 585 57079610303430 586 57665117024160 587 58255669966689 588 58851201720332 589 59451852753041 590 60057550710290 591 60668433170703 592 61284433498352 593 61905688526780 594 62532128858364 595 63163898946225 596 63800924553480 597 64443347390863 598 65091098748962 599 65744319678479 600 66402938392400 601 67067104501970 602 67736740757840 603 68411993448561 604 69092791750488 605 69779281019085 606 70471387533230 607 71169264647327 608 71872833557792 609 72582244719432 610 73297425149600 611 74018524593377 612 74745467156628 613 75478410618507 614 76217273983314 615 76962212155135 616 77713149950744 617 78470241594206 618 79233408888116 619 80002814377025 620 80778374576600 621 81560249015049 622 82348360262898 623 83142867109743 624 83943689090144 625 84750993372500 626 85564694169968 627 86384955644625 628 87211698078344 629 88045084917383 630 88885033166790 631 89731715352111 632 90585042695688 633 91445184300394 634 92312058112880 635 93185832324305 636 94066421710652 637 94954003216709 638 95848486057346 639 96750044021631 640 97658592677760 641 98574305054688 642 99497093466116 643 100427139923585 644 101364351032840 645 102308905548675 646 103260716613362 647 104219962183583 648 105186552147792 649 106160673435894 650 107142230239200 651 108131406287905 652 109128112254296 653 110132531117441 654 111144570171518 655 112164421718735 656 113191987128752 657 114227455323372 658 115270734456528 659 116322012621297 660 117381194316980 661 118448477781887 662 119523761047394 663 120607238475087 664 121698815655656 665 122798685892610 666 123906751296588 667 125023214769201 668 126147972323928 669 127281223403965 670 128422870987490 671 129573113681759 672 130731850824512 673 131899291094648 674 133075327421792 675 134260164763425 676 135453703439496 677 136656147459195 678 137867393510222 679 139087655625023 680 140316824121560 681 141555109397646 682 142802409064832 683 144058932629249 684 145324574054460 685 146599552909305 686 147883756766130 687 149177401586479 688 150480382226960 689 151792913790596 690 153114887304980 691 154446528454673 692 155787721536392 693 157138688337015 694 158499320907138 695 159869840043375 696 161250134009168 697 162640434049178 698 164040621789872 699 165450924721809 700 166871232042200 701 168301770342965 702 169742424950982 703 171193433131071 704 172654673429568 705 174126379263760 706 175608436925504 707 177101078900417 708 178604187542948 709 180118006204787 710 181642410336050 711 183177639367647 712 184723576637880 713 186280460629542 714 187848170598788 715 189426956303585 716 191016689829464 717 192617616798321 718 194229617542034 719 195852936640655 720 197487450033120 721 199133414498844 722 200790698195088 723 202459553205553 724 204139856806664 725 205831859780975 726 207535435236734 727 209250845456015 728 210977956238504 729 212717025695538 730 214467927994320 731 216230920221681 732 218005872333404 733 219793053037229 734 221592324904610 735 223403952449055 736 225227806678688 737 227064151091624 738 228912852414636 739 230774185950561 740 232648010925960 741 234534598386283 742 236433816125906 743 238345934157695 744 240270815942000 745 242208743445950 746 244159572535232 747 246123580878273 748 248100633005016 749 250091005551849 750 252094558526750 751 254111581057775 752 256141925206736 753 258185875505076 754 260243293162736 755 262314461544785 756 264399237266724 757 266497916394087 758 268610347462338 759 270736821860527 760 272877197427080 761 275031764366282 762 277200375922244 763 279383334972497 764 281580486706136 765 283792129403685 766 286018117475586 767 288258748072191 768 290513870982656 769 292783796102720 770 295068365123840 771 297367883356929 772 299682201732104 773 302011624458083 774 304355997751878 775 306715638815775 776 309090385610616 777 311480550650710 778 313885981328480 779 316306989019553 780 318743416048460 781 321195587839841 782 323663337763922 783 326146985914959 784 328646376094512 785 331161826959180 786 333693177420596 787 336240759622769 788 338804403904520 789 341384437517151 790 343980700613090 791 346593519240143 792 349222728661488 793 351868668401250 794 354531165162768 795 357210553647025 796 359906670303320 797 362619848686493 798 365349920147198 799 368097232316639 800 370861607592800 801 373643388447960 802 376442407569120 803 379259006130081 804 382093011729092 805 384944779577435 806 387814128352274 807 390701408195007 808 393606447975512 809 396529596604142 810 399470677668540 811 402430054668417 812 405407541909720 813 408403497519577 814 411417746490674 815 414450645583535 816 417502014567392 817 420572224606436 818 423661086317744 819 426768965680785 820 429895683755400 821 433041605271639 822 436206545938718 823 439390885242863 824 442594429513544 825 445817552883450 826 449060072418608 827 452322360933905 828 455604230125548 829 458906067612693 830 462227675685570 831 465569436642751 832 468931163499968 833 472313237278064 834 475715465483972 835 479138244330305 836 482581371667208 837 486045238195539 838 489529652818866 839 493035004880991 840 496561097182640 841 500108336031878 842 503676513396896 843 507266028958305 844 510876687450200 845 514508886662225 846 518162425689654 847 521837717864463 848 525534552404976 849 529253337031804 850 532993872246800 851 536756564404145 852 540541208285972 853 544348226021711 854 548177402367266 855 552029153752335 856 555903276388392 857 559800185318802 858 563719670922980 859 567662164326257 860 571627445685080 861 575615940289677 862 579627439997474 863 583662368661407 864 587720512307520 865 591802310858760 866 595907540132256 867 600036634291681 868 604189380781448 869 608366212390475 870 612566910482510 871 616791924633599 872 621041025528344 873 625314656575518 874 629612600741952 875 633935299874625 876 638282530891340 877 642654752321225 878 647051730479090 879 651473917865583 880 655921092910160 881 660393706646036 882 664891531306380 883 669415035017169 884 673963979142792 885 678538825578055 886 683139348149570 887 687766007200559 888 692418570361808 889 697097515057706 890 701802598064240 891 706534290652113 892 711292361984472 893 716077281844485 894 720888813061070 895 725727442882175 896 730592923034240 897 735485734427808 898 740405641496192 899 745353123587969 900 750327938414100 901 755330583941955 902 760360806017010 903 765419095570591 904 770505212244728 905 775619645085110 906 780762147227540 907 785933225656097 908 791132622102872 909 796360837042497 910 801617625258450 911 806903485620687 912 812218166374304 913 817562184413612 914 822935276529104 915 828337953119985 916 833769964048904 917 839231818143551 918 844723258619094 919 850244812622415 920 855796211725800 921 861377976458434 922 866989851693968 923 872632356346673 924 878305228399676 925 884009005804925 926 889743414430178 927 895508985203295 928 901305457945824 929 907133361793848 930 912992429622500 931 918883209740321 932 924805422825608 933 930759610147899 934 936745506407570 935 942763651093055 936 948813772048272 937 954896427653454 938 961011333749376 939 967159041937921 940 973339281734360 941 979552603116473 942 985798728563486 943 992078227450415 944 998390809924880 945 1004737038322500 946 1011116636903472 947 1017530166267153 948 1023977343581492 949 1030458749000759 950 1036974087262850 951 1043523931452015 952 1050108000508616 953 1056726865792346 954 1063380239060652 955 1070068711466385 956 1076791982186712 957 1083550635222517 958 1090344384123458 959 1097173811143487 960 1104038622143360 961 1110939420677072 962 1117875899027264 963 1124848652666817 964 1131857389689096 965 1138902703382835 966 1145984294371070 967 1153102776552671 968 1160257837441208 969 1167450083392230 970 1174679216971040 971 1181945842636769 972 1189249655531292 973 1196591280571953 974 1203970399899282 975 1211387631064975 976 1218842671039856 977 1226336135595740 978 1233867714116852 979 1241438043288113 980 1249046799197960 981 1256694610941231 982 1264381169821602 983 1272107103060879 984 1279872094341392 985 1287676791890930 986 1295520866041040 987 1303404957444849 988 1311328751671640 989 1319292887537261 990 1327297042729350 991 1335341877815583 992 1343427056644512 993 1351553231791720 994 1359720083018528 995 1367928260873825 996 1376177437285124 997 1384468284398123 998 1392800460411602 999 1401174629660799 1000 1409590466031000