小学生的难题

shshsh_0510

如果知道各对角线交点的分布情况，这个应该不很难。mathe 的那个公式是个总数，如果能知道其分布情况（既每个焦点都是几点共线），那么这个也就可以解决了。
我想那篇论文应该也作了相应分析吧，否则他的不出总数

mathe

还真是小学生题目
通过google搜索出一篇台湾小学生的文章:
http://science.boe.tcc.edu.tw/up ... %80%8B%E6%95%B8.doc
里面给出了公式,只是作者不知道3点共线组的数目,所以对于偶数边形只能算到n=20,然后给出了一个带参数$M_n$的公式,其中$M_n$表示三点共线组的数目.
而结合上面的论文就可以完全给出公式了

无心人

不过,
你们说的东西
不如我用整数序列描述的好计算

三点共线应该能描述出来具体顶点编号特征吧

mathe

原来那个作者到mit取了,新的论文的链接在:
http://math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf

无心人

n = 7
A $C_7^3 = 35$
B1 $7 C_5^2 = 210$
B2 $(C_7^2 - 7)(7^3 - 12*7^2 + 47*7 - 60) / 3 = 112$

mathe

现在把那个文章一些结论大概介绍一下把,这样大家就可以比较容易的直接使用结论了.
文章首先目的是计算出所有三条对角形共线的情况.所以假设单位圆周上顺序的6个点A,B,C,D,E,F;现在要给出一个对角线AD,BE,CF三线共点的充分必要条件.
文章中分别用字母u,x,v,y,w,z代表6个点将圆周划分成的弧长,而采用大写字母$U=u/{pi}$,同样有X,V,Y,W,Z等.
而第一个结论就是三线共点的充分必要条件为
${(sin(piU)sin(piV)sin(piW)=sin(piX)sin(piY)sin(piZ)),(U+V+W+X+Y+Z=1):}$
于是问题转化为计算上面方程的正有理数解.
然后文章中表格4给出了上面方程组的所有正有理数解,总共65组. (但是好像不包含交点在正多面体中心的平凡解)
而这个表格就是我们所需要的

无心人

B2的描述存在问题
在实际用haskell算时, 结果存在不相交的点
==============================
已经修正了
而且发现可以得到公式,在尝试计算中
19#利用PARI计算得到了结果
谁给核验下

mathe

哦,还有表格3也是解.
也就是所有解分三种:
i)平凡解(交点在正多边形中心的情况)
ii)表格3中的4组解,文中成为单参数解
iii)表格4中的65个解,文中称为零星解.

mathe

我们现在可以对结果进行会总,如下分类:
i)三个顶点都是正多边形顶点,共$C_n^3$个
ii)两个顶点为多边形顶点,一个内点.假设两个顶点为a,b,那个内点为对角线ac和bd交点,那么4个点的顺序必然为abcd.
  所以对于多边形任意4个点($C_n^4$种选择),可以有4种不同的选择方案来选择ab两个点,所以这种情况总共$4*C_n^4$个.
iii)一个顶点为多边形顶点,两个内点.假设这个顶点为a,三角形两条边为对角形ac和ad,另外一条边在对角线be,那么排列顺序必然为a,b,c,d,e.所以在固定a点的情况下,有$C_{n-1}^4$种不同方案,总共$n*C_{n-1}^4$个三角形.
iv)所有顶点都是内点,先不考虑三线共点的情况,相当于任意6个点确定一个三角形,共$C_n^6$个三角形
然后将它们累加再减去所有三线共点组合数目就可以了.

northwolves

3 1
4 8
5 35
6 110
7 287
8 632
9 1302
10 2400
11 4257
12 6956
13 11297
14 17234
15 25935
16 37424
17 53516
18 73404
19 101745
20 136200
21 181279
22 236258
23 306383
24 389264
25 495650
26 620048
27 772785
28 951384
29 1167453
30 1410350
31 1716191
32 2058848
33 2463384
34 2924000
35 3462305
36 4067028
37 4776219
38 5568786
39 6479551
40 7497560
41 8659118
42 9938852
43 11415425
44 13036760
45 14864025
46 16878642
47 19136943
48 21607904
49 24384164
50 27412400
51 30775185
52 34443656
53 38500631
54 42899382
55 47773935
56 53045832
57 58833082
58 65093168
59 71942417
60 79293980
61 87394517
62 96073154
63 105512127
64 115651776
65 126650160
66 138417092
67 151197761
68 164847368
69 179580435
70 195315890
71 212262239
72 230308560
73 249748038
74 270417312
75 292585825
76 316146776
77 341369105
78 368102462
79 396739343
80 427051760
81 459388476
82 493611792
83 530061489
84 568537844
85 609559055
86 652811810
87 698740239
88 747170600
89 798525266
90 852561900
91 909898353
92 970168152
93 1033910605
94 1100909858
95 1171682975
96 1245952448
97 1324409288
98 1406666912
99 1493359329
100 1584222600
101 1679881995
102 1779997070
103 1885408511
104 1995640088
105 2111455710
106 2232536384
107 2359629377
108 2492337276
109 2631627657
110 2776964850
111 2929244527
112 3088085840
113 3254373332
114 3427629716
115 3609010385
116 3797867144
117 3995258631
118 4200734274
119 4415331375
120 4638444560
121 4871556074
122 5113774448
123 5366378193
124 5628839384
125 5902365125
126 6186304278
127 6482210175
128 6789212544
129 7108736608
130 7440168320
131 7784901761
132 8142196964
133 8513801219
134 8898751730
135 9298673055
136 9712856568
137 10142902134
138 10587957908
139 11050024481
140 11527996760
141 12023731713
142 12536416466
143 13067875535
144 13617153504
145 14186472300
146 14774626512
147 15383707633
148 16012789256
149 16663941119
150 17336052350
151 18031711055
152 18749477096
153 19491739266
154 20257447056
155 21048935985
156 21864976796
157 22708404797
158 23577674978
159 24475447647
160 25400538080
161 26355569912
162 27339165036
163 28354485537
164 29399813256
165 30478122235
166 31588082066
167 32732626751
168 33910193072
169 35124370190
170 36373178240
171 37659953409
172 38983208664
173 40346212473
174 41747247134
175 43190224175
176 44673018896
177 46199311620
178 47767446320
179 49381049873
180 51038158500
181 52743271671
182 54493866882
183 56294073199
184 58142053832
185 60041819930
186 61991270276
187 63995152529
188 66050899160
189 68162992821
190 70329402690
191 72554549823
192 74836132736
193 77179325840
194 79581351488
195 82047122625
196 84574401800
197 87168047603
198 89825529222
199 92552520159
200 95345974200
201 98211277990
202 101145973280
203 104155383521
204 107236738412
205 110396230385
206 113630539154
207 116945549967
208 120338570352
209 123815418012
210 127373016260
211 131018261297
212 134747388680
213 138566864367
214 142473746594
215 146474376335
216 150565473648
217 154754317746
218 159037035984
219 163420587505
220 167901767000
221 172487469869
222 177174111278
223 181969641503
224 186869807264
225 191882178600
226 197003270688
227 202240564065
228 207590181380
229 213060694763
230 218647535570
231 224358888831
232 230190975128
233 236151893054
234 242237449116
235 248456890305
236 254805296088
237 261291507049
238 267911432306
239 274673820911
240 281574042080
241 288622368308
242 295813193456
243 303156152145
244 310646826120
245 318294649575
246 326094736478
247 334057819823
248 342178190216
249 350466112074
250 358916822000
251 367540473425
252 376331787468
253 385302356901
254 394445987586
255 403773729535
256 413280457472
257 422977080512
258 432857958020
259 442935429377
260 453202947080
261 463672334307
262 474338085234
263 485211900447
264 496287749936
265 507578788310
266 519078064736
267 530798222241
268 542733356888
269 554895998945
270 567279650070
271 579898496079
272 592744985904
273 605832680908
274 619155259472
275 632726119025
276 646538356820
277 660606983135
278 674924072930
279 689504061903
280 704340192360
281 719446768866
282 734816416292
283 750465151409
284 766384513112
285 782589899805
286 799074097250
287 815852356319
288 832916846016
289 850284524376
290 867946479840
291 885919077793
292 904194628232
293 922789370075
294 941694920222
295 960929443775
296 980483333720
297 1000374039918
298 1020593375232
299 1041158607489
300 1062060752300
301 1083319312985
302 1104923877170
303 1126893050031
304 1149218127248
305 1171917449060
306 1194981593436
307 1218430887057
308 1242254648712
309 1266472497367
310 1291075189250
311 1316082179567
312 1341483485264
313 1367300609402
314 1393522271024
315 1420169248785
316 1447231738584
317 1474730355861
318 1502654508686
319 1531026995135
320 1559835838400
321 1589103047664
322 1618818235328
323 1649003221313
324 1679646823092
325 1710773061075
326 1742369358258
327 1774458959455
328 1807030871864
329 1840108166918
330 1873678970900
331 1907768802401
332 1942364231768
333 1977489863889
334 2013134076690
335 2049321239055
336 2086038811808
337 2123313715964
338 2161131788816
339 2199518993841
340 2238463057160
341 2277989693903
342 2318085729558
343 2358779370255
344 2400055861800
345 2441942520850
346 2484426396752
347 2527534598513
348 2571253242332
349 2615612022029
350 2660595414050
351 2706232187295
352 2752508690976
353 2799453478536
354 2847051920228
355 2895335279585
356 2944287206792
357 2993937985227
358 3044273238098
359 3095323012607
360 3147071772240
361 3199552812702
362 3252748521024
363 3306690881857
364 3361364768216
365 3416801773385
366 3472985723102
367 3529951109231
368 3587679917648
369 3646205591700
370 3705512227440
371 3765633015249
372 3826550982260
373 3888302278343
374 3950868052802
375 4014283395375
376 4078531600136
377 4143647508650
378 4209613283484
379 4276466900433
380 4344188531160
381 4412815005061
382 4482328786562
383 4552766421119
384 4624109242112
385 4696396923680
386 4769608814720
387 4843783476609
388 4918902518280
389 4995004244931
390 5072069037230
391 5150138607263
392 5229191169272
393 5309267168310
394 5390347329248
395 5472471771425
396 5555620020060
397 5639835511233
398 5725095666642
399 5811442746319
400 5898856564400
401 5987379111980
402 6076988937140
403 6167731533041
404 6259583224328
405 6352588236735
406 6446725444194
407 6542038765647
408 6638505794960
409 6736173990722
410 6835018701200
411 6935086124337
412 7036354166360
413 7138868733437
414 7242606403110
415 7347616752735
416 7453874030304
417 7561426497976
418 7670251063904
419 7780395679265
420 7891835642180
421 8004623414459
422 8118731408018
423 8234210242623
424 8351035800024
425 8469258137550
426 8588851713524
427 8709870521345
428 8832286520024
429 8956152278073
430 9081442619570
431 9208209767471
432 9336427123104
433 9466150838724
434 9597351823920
435 9730084844305
436 9864323637128
437 10000122653879
438 10137454126238
439 10276376668271
440 10416859868360
441 10558960833498
442 10702652181936
443 10847990654865
444 10994947339004
445 11143583211125
446 11293866669122
447 11445857168703
448 11599526179136
449 11754932795984
450 11912046849900
451 12070931977665
452 12231555121416
453 12393978229171
454 12558171588146
455 12724196711135
456 12892022279600
457 13061714243942
458 13233238469408
459 13406659322337
460 13581945877080
461 13759162130097
462 13938275445710
463 14119354554767
464 14302363811696
465 14487370202460
466 14674341554576
467 14863344412721
468 15054344917092
469 15247414273455
470 15442515664290
471 15639718635919
472 15838989737384
473 16040398129778
474 16243908596324
475 16449595178225
476 16657419559256
477 16867454013165
478 17079663775650
479 17294120690463
480 17510787992000
481 17729743105256
482 17950945701152
483 18174471007329
484 18400282913672
485 18628456016555
486 18858952366182
487 19091851638399
488 19327112658840
489 19564813279486
490 19804916008640
491 20047498263233
492 20292520665548
493 20540065845545
494 20790091115378
495 21042677230575
496 21297785284560
497 21555495586548
498 21815767279124
499 22078686061649
500 22344207653000
501 22612415799975
502 22883270144450
503 23156853957551
504 23433124846320
505 23712171718410
506 23993948596464
507 24278542310737
508 24565911017432
509 24856141023077
510 25149188388110
511 25445145220607
512 25743963891200
513 26045734361472
514 26350413264384
515 26658090013185
516 26968719163748
517 27282395869091
518 27599071040114
519 27918837764895
520 28241651118200
521 28567603695254
522 28896648444540
523 29228883830433
524 29564259074904
525 29902870533025
526 30244671682898
527 30589758374735
528 30938081923232
529 31289744153228
530 31644692586320
531 32003026909041
532 32364698967048
533 32729807942559
534 33098303435582
535 33470290831055
536 33845715788648
537 34224681445794
538 34607137976336
539 34993187969201
540 35382779119980
541 35776020912093
542 36172856643426
543 36573393130975
544 36977578840160
545 37385519845400
546 37797162224276
547 38212618655393
548 38631831017096
549 39054909558939
550 39481800997650
551 39912614969535
552 40347295823600
553 40785959733806
554 41228546898176
555 41675171149185
556 42125777417432
557 42580478981657
558 43039218338838
559 43502115483567
560 43969108648080
561 44440315411492
562 44915678877104
563 45395316044177
564 45879167529140
565 46367357200535
566 46859821311746
567 47356681257711
568 47857878276168
569 48363533169210
570 48873584558660
571 49388160483089
572 49907194961624
573 50430813360213
574 50958955008962
575 51491744592575
576 52029118880640
577 52571209621680
578 53117949101760
579 53669466556993
580 54225699370760
581 54786776194451
582 55352631740462
583 55923402035039
584 56499017104952
585 57079610303430
586 57665117024160
587 58255669966689
588 58851201720332
589 59451852753041
590 60057550710290
591 60668433170703
592 61284433498352
593 61905688526780
594 62532128858364
595 63163898946225
596 63800924553480
597 64443347390863
598 65091098748962
599 65744319678479
600 66402938392400
601 67067104501970
602 67736740757840
603 68411993448561
604 69092791750488
605 69779281019085
606 70471387533230
607 71169264647327
608 71872833557792
609 72582244719432
610 73297425149600
611 74018524593377
612 74745467156628
613 75478410618507
614 76217273983314
615 76962212155135
616 77713149950744
617 78470241594206
618 79233408888116
619 80002814377025
620 80778374576600
621 81560249015049
622 82348360262898
623 83142867109743
624 83943689090144
625 84750993372500
626 85564694169968
627 86384955644625
628 87211698078344
629 88045084917383
630 88885033166790
631 89731715352111
632 90585042695688
633 91445184300394
634 92312058112880
635 93185832324305
636 94066421710652
637 94954003216709
638 95848486057346
639 96750044021631
640 97658592677760
641 98574305054688
642 99497093466116
643 100427139923585
644 101364351032840
645 102308905548675
646 103260716613362
647 104219962183583
648 105186552147792
649 106160673435894
650 107142230239200
651 108131406287905
652 109128112254296
653 110132531117441
654 111144570171518
655 112164421718735
656 113191987128752
657 114227455323372
658 115270734456528
659 116322012621297
660 117381194316980
661 118448477781887
662 119523761047394
663 120607238475087
664 121698815655656
665 122798685892610
666 123906751296588
667 125023214769201
668 126147972323928
669 127281223403965
670 128422870987490
671 129573113681759
672 130731850824512
673 131899291094648
674 133075327421792
675 134260164763425
676 135453703439496
677 136656147459195
678 137867393510222
679 139087655625023
680 140316824121560
681 141555109397646
682 142802409064832
683 144058932629249
684 145324574054460
685 146599552909305
686 147883756766130
687 149177401586479
688 150480382226960
689 151792913790596
690 153114887304980
691 154446528454673
692 155787721536392
693 157138688337015
694 158499320907138
695 159869840043375
696 161250134009168
697 162640434049178
698 164040621789872
699 165450924721809
700 166871232042200
701 168301770342965
702 169742424950982
703 171193433131071
704 172654673429568
705 174126379263760
706 175608436925504
707 177101078900417
708 178604187542948
709 180118006204787
710 181642410336050
711 183177639367647
712 184723576637880
713 186280460629542
714 187848170598788
715 189426956303585
716 191016689829464
717 192617616798321
718 194229617542034
719 195852936640655
720 197487450033120
721 199133414498844
722 200790698195088
723 202459553205553
724 204139856806664
725 205831859780975
726 207535435236734
727 209250845456015
728 210977956238504
729 212717025695538
730 214467927994320
731 216230920221681
732 218005872333404
733 219793053037229
734 221592324904610
735 223403952449055
736 225227806678688
737 227064151091624
738 228912852414636
739 230774185950561
740 232648010925960
741 234534598386283
742 236433816125906
743 238345934157695
744 240270815942000
745 242208743445950
746 244159572535232
747 246123580878273
748 248100633005016
749 250091005551849
750 252094558526750
751 254111581057775
752 256141925206736
753 258185875505076
754 260243293162736
755 262314461544785
756 264399237266724
757 266497916394087
758 268610347462338
759 270736821860527
760 272877197427080
761 275031764366282
762 277200375922244
763 279383334972497
764 281580486706136
765 283792129403685
766 286018117475586
767 288258748072191
768 290513870982656
769 292783796102720
770 295068365123840
771 297367883356929
772 299682201732104
773 302011624458083
774 304355997751878
775 306715638815775
776 309090385610616
777 311480550650710
778 313885981328480
779 316306989019553
780 318743416048460
781 321195587839841
782 323663337763922
783 326146985914959
784 328646376094512
785 331161826959180
786 333693177420596
787 336240759622769
788 338804403904520
789 341384437517151
790 343980700613090
791 346593519240143
792 349222728661488
793 351868668401250
794 354531165162768
795 357210553647025
796 359906670303320
797 362619848686493
798 365349920147198
799 368097232316639
800 370861607592800
801 373643388447960
802 376442407569120
803 379259006130081
804 382093011729092
805 384944779577435
806 387814128352274
807 390701408195007
808 393606447975512
809 396529596604142
810 399470677668540
811 402430054668417
812 405407541909720
813 408403497519577
814 411417746490674
815 414450645583535
816 417502014567392
817 420572224606436
818 423661086317744
819 426768965680785
820 429895683755400
821 433041605271639
822 436206545938718
823 439390885242863
824 442594429513544
825 445817552883450
826 449060072418608
827 452322360933905
828 455604230125548
829 458906067612693
830 462227675685570
831 465569436642751
832 468931163499968
833 472313237278064
834 475715465483972
835 479138244330305
836 482581371667208
837 486045238195539
838 489529652818866
839 493035004880991
840 496561097182640
841 500108336031878
842 503676513396896
843 507266028958305
844 510876687450200
845 514508886662225
846 518162425689654
847 521837717864463
848 525534552404976
849 529253337031804
850 532993872246800
851 536756564404145
852 540541208285972
853 544348226021711
854 548177402367266
855 552029153752335
856 555903276388392
857 559800185318802
858 563719670922980
859 567662164326257
860 571627445685080
861 575615940289677
862 579627439997474
863 583662368661407
864 587720512307520
865 591802310858760
866 595907540132256
867 600036634291681
868 604189380781448
869 608366212390475
870 612566910482510
871 616791924633599
872 621041025528344
873 625314656575518
874 629612600741952
875 633935299874625
876 638282530891340
877 642654752321225
878 647051730479090
879 651473917865583
880 655921092910160
881 660393706646036
882 664891531306380
883 669415035017169
884 673963979142792
885 678538825578055
886 683139348149570
887 687766007200559
888 692418570361808
889 697097515057706
890 701802598064240
891 706534290652113
892 711292361984472
893 716077281844485
894 720888813061070
895 725727442882175
896 730592923034240
897 735485734427808
898 740405641496192
899 745353123587969
900 750327938414100
901 755330583941955
902 760360806017010
903 765419095570591
904 770505212244728
905 775619645085110
906 780762147227540
907 785933225656097
908 791132622102872
909 796360837042497
910 801617625258450
911 806903485620687
912 812218166374304
913 817562184413612
914 822935276529104
915 828337953119985
916 833769964048904
917 839231818143551
918 844723258619094
919 850244812622415
920 855796211725800
921 861377976458434
922 866989851693968
923 872632356346673
924 878305228399676
925 884009005804925
926 889743414430178
927 895508985203295
928 901305457945824
929 907133361793848
930 912992429622500
931 918883209740321
932 924805422825608
933 930759610147899
934 936745506407570
935 942763651093055
936 948813772048272
937 954896427653454
938 961011333749376
939 967159041937921
940 973339281734360
941 979552603116473
942 985798728563486
943 992078227450415
944 998390809924880
945 1004737038322500
946 1011116636903472
947 1017530166267153
948 1023977343581492
949 1030458749000759
950 1036974087262850
951 1043523931452015
952 1050108000508616
953 1056726865792346
954 1063380239060652
955 1070068711466385
956 1076791982186712
957 1083550635222517
958 1090344384123458
959 1097173811143487
960 1104038622143360
961 1110939420677072
962 1117875899027264
963 1124848652666817
964 1131857389689096
965 1138902703382835
966 1145984294371070
967 1153102776552671
968 1160257837441208
969 1167450083392230
970 1174679216971040
971 1181945842636769
972 1189249655531292
973 1196591280571953
974 1203970399899282
975 1211387631064975
976 1218842671039856
977 1226336135595740
978 1233867714116852
979 1241438043288113
980 1249046799197960
981 1256694610941231
982 1264381169821602
983 1272107103060879
984 1279872094341392
985 1287676791890930
986 1295520866041040
987 1303404957444849
988 1311328751671640
989 1319292887537261
990 1327297042729350
991 1335341877815583
992 1343427056644512
993 1351553231791720
994 1359720083018528
995 1367928260873825
996 1376177437285124
997 1384468284398123
998 1392800460411602
999 1401174629660799
1000 1409590466031000