这个初中几何题如何求解?
本帖最后由 mathematica 于 2018-3-3 16:48 编辑不知道如何用初等办法求解
我用解析几何的办法求解
E(0,a)
F(b,c)
A'(d,0)
约束条件
AE=A'E
AF=A'F
点在斜边上
FullSimplify@Minimize[{b^2+(a-c)^2,(a-4)^2==a^2+d^2&&b^2+(c-4)^2==(b-d)^2+c^2&&b/3+c/4==1},{a,b,c,d}]
最后结果是
\[\left\{531-216 \sqrt{6},\left\{a\to 2 \sqrt{6}-3,b\to 3 \left(\sqrt{6}-2\right),c\to -4 \left(\sqrt{6}-3\right),d\to 2 \left(\sqrt{6}-2\right)\right\}\right\}\]
开平方结果
\ lsr314 发表于 2018-3-3 21:56
EF可以用∠BAA'的三角函数来表示
(*
以TanA表示∠BAA'的正切
以TanB表示∠CAA'的正切
y表示AA'的一半=4*Sqrt/2
(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)==3/4三角形和差化积,3/4表示∠CAB的正切
EF=y*(TanA+TanB)
由最终的计算结果发现:TanA:TanB=1:2
*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
out=FullSimplify@Minimize[{y*(TanA+TanB),y==4*Sqrt/2&&(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)==3/4&&TanA>0&&TanB>0},{y,TanA,TanB}]
运行结果
\[\left\{\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}},\left\{y\to \sqrt{14-4 \sqrt{6}},\text{TanA}\to \sqrt{\frac{3}{2}}-1,\text{TanB}\to \sqrt{6}-2\right\}\right\}\] 可以使用拉格朗日乘子法求解这个问题,问题不难!
但是求解方程组很难,应该是很难手酸的
至少我没尝试过手算
不知道有谁能用初中生的办法求解出这个问题? Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
NMinimize[{y*(Tan+Tan),y==4/Cos/2&&Tan==3/4&&0<A<3/4&&0<B<3/4},{y,A,B},AccuracyGoal->80,PrecisionGoal->80,WorkingPrecision->80]
数值解代码
{1.3821054803572449438732476169635256403506802839508732081012675292429185020383427,
{y -> 2.0498880527646595382523121660509391467436513903153663461939283388009868264593095,
A -> 0.22107159400147679767190611171425191321074029685710450575644907045815201970936401,
B -> 0.42242951479180758913090311700307072483073647430023159766475561596831490347818707}} EF可以用∠BAA'的三角函数来表示 本帖最后由 王守恩 于 2018-3-4 20:38 编辑
mathematica 发表于 2018-3-4 11:49
运行结果
\[\left\{\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}},\left\{y\to \sqrt{14-4 \sqrt{6}},\text{Tan ...
这样解好像可以。
\(由\D\frac{\tan(A)}{\tan(B)}=\frac{1}{2}\ \ \ \ 解得A\ \ \ \ 其中A+B=\arcsin(\frac{3}{5})\)
\(EF=\D\frac{3×4\sin(A)}{2\cos^2(A)}=12\sqrt2-9\sqrt3\) 王守恩 发表于 2018-3-4 15:10
这样解好像也可以。
\(设AE=EA'=A'C=K\)
这个办法的道理是?
我觉得是瞎猫碰到死耗子,
因为我用别的直角三角形,发现没道理,不符合 设 `A'B=x`，连结 `AA'` 交 `EF` 于 `O`，由对称性可知，`EF`垂直且平分 `AA'`，故 `AO=\sqrt{16+x^2}/2`.
过 `A'` 作 `A'D\perp AC`，垂足为 `D`，于是 `A'D=A'C\sin C=\D\frac{4}{5}(3-x)`，`CD=\cos C=\D\frac{3}{5}(3-x)`，以及 `AD=AC-CD=\D\frac{16+3x}{5}`.
因为 `\mathrm{Rt}\triangle ABA',\mathrm{Rt}\triangle A AOE` 以及 `\mathrm{Rt}\triangle ADA',\mathrm{Rt}\triangle A OF` 这两组三角形各自相似，故 `EO=\D\frac{AO}{AB}x=\frac{x\sqrt{16+x^2}}{8}`，`FO=\D\frac{AO}{AD}A'D=\frac{2(3-x)\sqrt{x^2+16}}{x+16}`，从而 \求函数最小值，得 `x=2\sqrt{6}-4` 时 `f_{\mathrm{min}}(x)=f(2\sqrt{6}-4)=12\sqrt{2}-9\sqrt{3}`. 代码Minimize[{(3/8 (x^2 + 16)/(3 x + 16)) Sqrt, x > 0},
x] // FullSimplify 令AA'为h
h/2 (Tan[\]+Tan[\])//.{\->ArcCos,\->ArcTan-\}//FullSimplify//MinValue[{#,4<h<5},h]&//FullSimplify