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[提问] 这个初中几何题如何求解?

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发表于 2018-3-3 16:45:16 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 mathematica 于 2018-3-3 16:48 编辑

不知道如何用初等办法求解

我用解析几何的办法求解
E(0,a)
F(b,c)
A'(d,0)
约束条件
AE=A'E
AF=A'F
点在斜边上
  1. FullSimplify@Minimize[{b^2+(a-c)^2,(a-4)^2==a^2+d^2&&b^2+(c-4)^2==(b-d)^2+c^2&&b/3+c/4==1},{a,b,c,d}]
复制代码

最后结果是
\[\left\{531-216 \sqrt{6},\left\{a\to 2 \sqrt{6}-3,b\to 3 \left(\sqrt{6}-2\right),c\to -4 \left(\sqrt{6}-3\right),d\to 2 \left(\sqrt{6}-2\right)\right\}\right\}\]
开平方结果
\[12 \sqrt{2}-9 \sqrt{3}\]
_初中几何题怎么解.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-3-3 16:56:37 | 显示全部楼层
可以使用拉格朗日乘子法求解这个问题,问题不难!
但是求解方程组很难,应该是很难手酸的
至少我没尝试过手算

不知道有谁能用初中生的办法求解出这个问题?
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 楼主| 发表于 2018-3-3 21:28:43 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. NMinimize[{y*(Tan[A]+Tan[B]),y==4/Cos[A]/2&&Tan[A+B]==3/4&&0<A<3/4&&0<B<3/4},{y,A,B},AccuracyGoal->80,PrecisionGoal->80,WorkingPrecision->80]
复制代码

数值解代码
{1.3821054803572449438732476169635256403506802839508732081012675292429185020383427,
{y -> 2.0498880527646595382523121660509391467436513903153663461939283388009868264593095,
A -> 0.22107159400147679767190611171425191321074029685710450575644907045815201970936401,
B -> 0.42242951479180758913090311700307072483073647430023159766475561596831490347818707}}
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发表于 2018-3-3 21:56:44 | 显示全部楼层
EF可以用∠BAA'的三角函数来表示
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 楼主| 发表于 2018-3-4 11:49:48 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-3-3 21:56
EF可以用∠BAA'的三角函数来表示

  1. (*
  2. 以TanA表示∠BAA'的正切
  3. 以TanB表示∠CAA'的正切
  4. y表示AA'的一半=4*Sqrt[1+TanA^2]/2
  5. (TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)==3/4三角形和差化积,3/4表示∠CAB的正切
  6. EF=y*(TanA+TanB)
  7. 由最终的计算结果发现:TanA:TanB=1:2
  8. *)
  9. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  10. out=FullSimplify@Minimize[{y*(TanA+TanB),y==4*Sqrt[1+TanA^2]/2&&(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)==3/4&&TanA>0&&TanB>0},{y,TanA,TanB}]
复制代码

运行结果
\[\left\{\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}},\left\{y\to \sqrt{14-4 \sqrt{6}},\text{TanA}\to \sqrt{\frac{3}{2}}-1,\text{TanB}\to \sqrt{6}-2\right\}\right\}\]

点评

@chyanog 人肉手工化简就行了,不折腾  发表于 2018-3-6 21:27
化简这个嵌套根式的一个方法:15/Sqrt[59+24 Sqrt[6]]/. 1/Sqrt[x_]:>1/FunctionExpand[Sqrt[x]]/. 1/(a_+b_):>(a-b)/(a^2-b^2)  发表于 2018-3-6 16:11
万岁的mathematica怎么不会把\(\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}}\)简化成\(12 \sqrt{2}-9 \sqrt{3}\)  发表于 2018-3-4 14:34
mathematica万岁  发表于 2018-3-4 12:01
mathematica太牛逼了,一秒钟就解决问题了  发表于 2018-3-4 12:01
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发表于 2018-3-4 15:10:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-3-4 20:38 编辑
mathematica 发表于 2018-3-4 11:49
运行结果
\[\left\{\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}},\left\{y\to \sqrt{14-4 \sqrt{6}},\text{Tan ...


这样解好像可以。

\(由\D\frac{\tan(A)}{\tan(B)}=\frac{1}{2}\ \ \ \ 解得A\ \ \ \ 其中A+B=\arcsin(\frac{3}{5})  \)

\(EF=\D\frac{3×4\sin(A)}{2\cos^2(A)}=12\sqrt2-9\sqrt3\)
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 楼主| 发表于 2018-3-4 17:42:57 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-3-4 15:10
这样解好像也可以。

\(设AE=EA'=A'C=K  \)

这个办法的道理是?
我觉得是瞎猫碰到死耗子,
因为我用别的直角三角形,发现没道理,不符合
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发表于 2018-3-4 21:08:43 | 显示全部楼层
设 `A'B=x`,连结 `AA'` 交 `EF` 于 `O`,由对称性可知,`EF`垂直且平分 `AA'`,故 `AO=\sqrt{16+x^2}/2`.
过 `A'` 作 `A'D\perp AC`,垂足为 `D`,于是 `A'D=A'C\sin C=\D\frac{4}{5}(3-x)`,`CD=\cos C=\D\frac{3}{5}(3-x)`,以及 `AD=AC-CD=\D\frac{16+3x}{5}`.

因为 `\mathrm{Rt}\triangle ABA',\mathrm{Rt}\triangle A AOE` 以及 `\mathrm{Rt}\triangle ADA',\mathrm{Rt}\triangle A OF` 这两组三角形各自相似,故 `EO=\D\frac{AO}{AB}x=\frac{x\sqrt{16+x^2}}{8}`,`FO=\D\frac{AO}{AD}A'D=\frac{2(3-x)\sqrt{x^2+16}}{x+16}`,从而 \[f(x)=EF=EO+FO=\frac{3x^2+48}{8(3x+16)}\sqrt{x^2+16}\]求函数最小值,得 `x=2\sqrt{6}-4` 时 `f_{\mathrm{min}}(x)=f(2\sqrt{6}-4)=12\sqrt{2}-9\sqrt{3}`.

点评

我喜欢把复杂的计算交给mathematica,自己只思考思路  发表于 2018-3-5 09:04
不知道这个问题能否用初中办法求解,但是这个问题对于TanA:TanB=1:2成立,只要是直接三角形就成立  发表于 2018-3-5 09:04
暴力求解,也不错  发表于 2018-3-5 09:02
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发表于 2018-3-4 21:10:20 | 显示全部楼层
代码
  1. Minimize[{(3/8 (x^2 + 16)/(3 x + 16)) Sqrt[x^2 + 16], x > 0},
  2.   x] // FullSimplify
复制代码
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发表于 2018-3-4 21:57:28 | 显示全部楼层
令AA'为h
  1. h/2 (Tan[\[Alpha]]+Tan[\[Beta]])//.{\[Alpha]->ArcCos[4/h],\[Beta]->ArcTan[3/4]-\[Alpha]}//FullSimplify//MinValue[{#,4<h<5},h]&//FullSimplify
复制代码
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