王守恩 发表于 2020-3-11 13:16:59

本帖最后由 王守恩 于 2020-3-11 18:45 编辑

wayne 发表于 2020-3-8 10:09
∠BAC=60° 是多余的吧.问题就是 $PA=a,PB=b,PC=c$,求$1/2bcsinx+1/2acsiny+1/2ab sinz$ 在$x+y+z=2\pi$ ...


P在△ABC内。PA=10,PB=7,PC=6, 求△ABC的最大面积 S 。

我们记10对应的边为a,7对应的边为b,6对应的边为c,
      记10对应的角为x,7对应的角为y,6对应的角为z,
由 sin(x):sin(y):sin(z)=10:7:6,x+y+z=90°解得 {x,y,z}
x -> 40.2737, y -> 26.9047, z -> 22.8216
a^2=07^2+06^2+2*07*06*cos(y+z)
b^2=06^2+10^2+2*06*10*cos(z+x)
c^2=10^2+07^2+2*10*07*cos(x+y)
S=a*b*sin(x+y)/2=b*c*sin(y+z)/2=c*a*sin(z+x)/2=75.0352

王守恩 发表于 2020-3-12 10:37:34

本帖最后由 王守恩 于 2020-3-12 11:13 编辑

人教版高中 发表于 2020-3-10 07:30
谢谢大家的回复~真是涨知识了。这么看来这题是不能用手算解出来的是吗?

在△ABC中,∠BAC=60°,P在△ABC内。PA=10,PB=6,PC=7, 求△ABC的最大面积 S。



   设\(∠PAB=30^\circ-a,∠PAC=30^\circ+a \)

   由方程 \(\D\frac{\sin(30^\circ-a)}{sin(30^\circ+a)}=\frac{6}{7}\)   可得 \(a=2.5429239^\circ\)
   由正弦定理
   \(b=\sqrt{49-100\sin^2(30^\circ+a)}+10\cos(30^\circ+a)\)
   \(c=\sqrt{36-100\sin^2(30^\circ-a)}+10\cos(30^\circ-a)\)

   \(S=b*c*\sin60^\circ/2=71.0622\)





mathematica 发表于 2020-3-12 12:45:59

王守恩 发表于 2020-3-12 10:37
在△ABC中,∠BAC=60°,P在△ABC内。PA=10,PB=6,PC=7, 求△ABC的最大面积 S。




请问你的
\[\D\frac{\sin(30^\circ-a)}{sin(30^\circ+a)}=\frac{6}{7}\]
这个表达式是怎么得到的?

mathematica 发表于 2020-3-12 14:04:24

王守恩 发表于 2020-3-12 10:37
在△ABC中,∠BAC=60°,P在△ABC内。PA=10,PB=6,PC=7, 求△ABC的最大面积 S。




详细写一下你的思路与过程!

mathematica 发表于 2020-3-13 10:10:47

本帖最后由 mathematica 于 2020-3-13 10:13 编辑

王守恩 发表于 2020-3-12 10:37
在△ABC中,∠BAC=60°,P在△ABC内。PA=10,PB=6,PC=7, 求△ABC的最大面积 S。




写出你的具体分析过程,30°怎么来的
那个角度相加不是360度吗?为什么你是90度?

你要让大家相信,尤其是让我相信:你不是在凑答案!

王守恩 发表于 2020-3-13 10:52:48

本帖最后由 王守恩 于 2020-3-13 11:30 编辑

王守恩 发表于 2020-3-12 10:37
在△ABC中,∠BAC=60°,P在△ABC内。PA=10,PB=6,PC=7, 求△ABC的最大面积 S。




在△ABC中,∠BAC=60°,P在△ABC内,PA=10,PB=6,PC=7, 求△ABC的最大面积 S。

      设\(∠PBA=∠PCA=a \)

   \(\arcsin\frac{7\sin(a)}{10}+\arcsin\frac{6\sin(a)}{10}=60^\circ\)

       可得 \(a=50.216988^\circ\)

   \(b=\sqrt{100-49\sin^2(a)}+7\cos(a)\)
   \(c=\sqrt{100-36\sin^2(a)}+6\cos(a)\)

   \(S=b*c*\sin60^\circ/2=71.0622\)

mathematica 发表于 2020-3-13 11:09:35

王守恩 发表于 2020-3-13 10:52
在△ABC中,∠BAC=60°,P在△ABC内。PA=10,PB=6,PC=7, 求△ABC的最大面积 S。

设\(∠PBA=∠PCA= ...

PBA为什么等于PCA?

mathematica 发表于 2020-3-13 17:05:40

王守恩 发表于 2020-3-13 10:52
在△ABC中,∠BAC=60°,P在△ABC内,PA=10,PB=6,PC=7, 求△ABC的最大面积 S。

      设\(∠PBA= ...

说不出理由,我只能认为你在凑答案,
我记得上次你也在凑答案

https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=15285&pid=74243&fromuid=865
这个是你上次凑的答案!

王守恩 发表于 2020-3-13 18:29:04

本帖最后由 王守恩 于 2020-3-13 18:57 编辑

mathematica 发表于 2020-3-13 17:05
说不出理由,我只能认为你在凑答案,
我记得上次你也在凑答案


谢谢 mathematica!谢谢大家!
我肯定是在凑答案,先把答案凑出来,
然后想法去证明她,这是我解题的风格。
由 2 楼可知:3个顶角是 3 对相同的角,到主帖这里:
多了一个限制,就只能是 1 对相同的角与2对相同比的角。
对23#的解法,还是蛮好奇。60°,10,7,6改动一下,还是有效。

王守恩 发表于 2020-3-14 06:55:27

本帖最后由 王守恩 于 2020-3-14 18:28 编辑

题目一:P在△ABC内,∠BAC=60°,PA=10,PB=7,PC=6, 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角∠PBA=∠PCA=x,
\(\arcsin\frac{7\sin(x)}{⁡10}+\arcsin\frac{⁡6\sin⁡(x)}{10}=60^\circ\)
可得\( x=50.216988^\circ\)
\(b=\sqrt{10^2−(6\sin⁡(x))^2}+6\cos⁡(x)\)
\(c=\sqrt{10^2−(7\sin⁡(x))^2}+7\cos⁡(x)\)
\(S=b*c*\sin(60^\circ)/2=71.0622\)
在这里:10, 7, 6 不可以是任意数,
      arctan(7/10)+arctan(6/10) < ∠BAC 时无最大面积 S。

题目二:P在△ABC内,PA=10,PB=7,PC=6, 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角为 x,7 对应的角为 y,6 对应的角为 z,
\(\frac{\sin(y)}{\sin(x)}=\frac{7}{10}\ \ \ \ \frac{\sin(z)}{\sin(x)}=\frac{6}{10}\ \ \ \ x+y+z=90^\circ \)
可得\( x=40.2737^\circ\ \ \ y=26.9047^\circ\ \ \ z=22.8216^\circ\)
\(b=\frac{10\sin⁡(x+z)}{\sin(x)}\)
\(c=\frac{10\sin⁡(x+y)}{\sin(x)}\)
\(S=b*c*\sin(y+z)/2=75.0352\)
在这里:10, 7, 6 可以是任意数。




   
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