王守恩 发表于 2020-3-14 06:55
题目一：P在△ABC内，∠BAC=60°，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角∠PBA=∠PCA ...
第二个方程解是能求解出来，但是只是一个符号解，三次方程，
我要的是思路。
本帖最后由 mathematica 于 2020-3-15 16:45 编辑
王守恩 发表于 2020-3-14 06:55
题目一：P在△ABC内，∠BAC=60°，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角∠PBA=∠PCA ...
Clear["Global`*"];
out=FullSimplify@Solve[
{
Sin/Sin==7/10,
Sin/Sin==6/10,
x+y+z==Pi/2,
x>0&&y>0&&z>0,
b==10*Sin/Sin,
c==10*Sin/Sin,
s==b*c/2*Sin
},{x,y,z,b,c,s}
]
aa={{x,y,z}/Pi*180,b,c,s}/.out
N
\[\begin{array}{c}
x\to \frac{1}{2} \left(4 \tan ^{-1}\left(\text{Root}\left[\text{$\#$1}^6-233 \text{$\#$1}^4-737 \text{$\#$1}^2+169\&,2\right]\right)+\pi \right) \\
y\to -2 \tan ^{-1}\left(\text{Root}\left\right) \\
z\to -2 \tan ^{-1}\left(\text{Root}\left\right) \\
b\to \text{Root}\left[\text{$\#$1}^6-223 \text{$\#$1}^4+5168 \text{$\#$1}^2+200704\&,4\right] \\
c\to \text{Root}\left[\text{$\#$1}^6-262 \text{$\#$1}^4+11473 \text{$\#$1}^2+93636\&,4\right] \\
s\to \text{Root}\left \\
\end{array}\]
数值结果
\[\left(
\begin{array}{cccc}
\{40.273683399254087544,26.904682266935048752,22.821634333810863704\} & 13.794959599929691540 & 14.258362821996512629 & 75.035175196416046619 \\
\end{array}
\right)\]
满足AB*sin(APC)/cos(PCA)=AC*sin(APB)/cos(PBA)的时候，可以得到最大或最小面积
(*向大家求助一道三角题*)
(*https://bbs.emath.ac.cn/thread-17176-1-1.html*)
Clear["Global`*"];
(*四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun:=Sqrt/288]
(*海伦公式*)
heron:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt]
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
ToRadicals@FullSimplify@Maximize[
{heron,
fun==0&&
cs==Cos&&
a>0&&b>0&&c>0
},{a,b,c}
]
\[\left\{\sqrt{3} \left(5 \sqrt{13}+23\right),\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)},b\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)},c\to \frac{4 \left(3 \sqrt{13}+25\right)}{\sqrt{127}}\right\}\right\}\]
mathematica 发表于 2020-3-30 12:18
\[\left\{\sqrt{3} \left(5 \sqrt{13}+23\right),\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{1 ...
如果把条件改为PA=12, PB=6,PC=7
那么结果是：
\[\left\{\frac{3}{2} \sqrt{57 \left(4 \sqrt{19}+23\right)},\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(1512 \sqrt{19}+14533\right)},b\to \sqrt{\frac{19}{127} \left(84 \sqrt{19}+733\right)},c\to 6 \sqrt{\frac{1}{127} \left(40 \sqrt{19}+419\right)}\right\}\right\}\]
数值结果是
{72.013, {a -> 12.8968, b -> 12.8234, c -> 12.969}}
本帖最后由 mathematica 于 2020-4-1 12:23 编辑
mathematica 发表于 2020-3-30 14:15
如果把条件改为PA=12, PB=6,PC=7
那么结果是：
如果是1267
引用上面的代码
Clear["Global`*"];
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
FullSimplify@Maximize[{1/2*Sin*b*c,
(*∠BAP=∠1,∠CAP=∠2,∠BAC=60分别计算余弦值*)
c1==cs&&
c2==cs&&
1/2==cs&&
(*同一个角的正弦与余弦的平方和等于1*)
c1^2+s1^2==1&&
c2^2+s2^2==1&&
(*∠BAC余弦的和差化积公式*)
1/2==c1*c2-s1*s2&&
(*变量都是正的*)
c1>0&&c2>0&&
s1>0&&s2>0&&
a>0&&b>0&&c>0
},
{a,b,c,c1,c2,s1,s2}
]
求解结果
\[\left\{\frac{57 \sqrt{3}}{2}+3 \sqrt{57},\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(1512 \sqrt{19}+14533\right)},b\to \sqrt{\frac{19}{127} \left(84 \sqrt{19}+733\right)},c\to 6 \sqrt{\frac{1}{127} \left(40 \sqrt{19}+419\right)},\text{c1}\to \frac{10}{\sqrt{127}},\text{c2}\to \frac{19}{2 \sqrt{127}},\text{s1}\to 3 \sqrt{\frac{3}{127}},\text{s2}\to \frac{7 \sqrt{\frac{3}{127}}}{2}\right\}\right\}\]
数值化
{72.01295132,{a->12.89682107,b->12.82339235,c->12.96901652,c1->0.8873565094,c2->0.8429886839,s1->0.4610839676,s2->0.5379312956}}
(*向大家求助一道三角题*)
(*https://bbs.emath.ac.cn/thread-17176-1-1.html*)
Clear["Global`*"];
(*四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun:=Sqrt/288]
(*海伦公式*)
heron:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt]
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
ToRadicals@FullSimplify@Maximize[
{heron,
fun==0&&
cs==Cos&&
a>0&&b>0&&c>0
},{a,b,c}
]
求解结果：
\[\left\{\frac{3}{2} \sqrt{57 \left(4 \sqrt{19}+23\right)},\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(1512 \sqrt{19}+14533\right)},b\to \sqrt{\frac{19}{127} \left(84 \sqrt{19}+733\right)},c\to 6 \sqrt{\frac{1}{127} \left(40 \sqrt{19}+419\right)}\right\}\right\}\]
数值化
{72.01295132,{a->12.89682107,b->12.82339235,c->12.96901652}}
从我CAD画的图上，确实落在了三角形外面。
mathematica 发表于 2020-4-1 12:08
如果是1267
引用上面的代码
我推测在三角形内部的情况，可能没最值！
为什么呢？
看下面的代码
(*向大家求助一道三角题*)
(*https://bbs.emath.ac.cn/thread-17176-1-1.html*)
Clear["Global`*"];
(*四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun:=Sqrt/288]
(*海伦公式*)
heron:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt]
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
(*拉格朗日乘子法*)
ff=heron^2+x*(fun^2)+y*(-a^2+b^2-b*c+c^2)
ffa=D
ffb=D
ffc=D
ffx=D
ffy=D
aaa={a,b,c,x,y}/.FullSimplify@Solve[{ffa==0&&ffb==0&&ffc==0&&ffx==0&&ffy==0},{a,b,c,x,y}]
bbb=Select]>=0,#[]>=0,#[]>=0]&]
ccc=Grid]
用拉格朗日乘子法求解最值。
\[\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & x & y \\
0 & 0 & 0 & x & -\frac{1}{3} (68 x) \\
-\sqrt{\frac{1}{43} \left(-5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left & 8 \text{Root}\left & \frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(55 i \sqrt{2}-142\right) \\
\sqrt{\frac{1}{43} \left(-5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left & 8 \text{Root}\left & \frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(55 i \sqrt{2}-142\right) \\
-\sqrt{\frac{1}{43} \left(-5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left & -8 \text{Root}\left & \frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(55 i \sqrt{2}-142\right) \\
\sqrt{\frac{1}{43} \left(-5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left & -8 \text{Root}\left & \frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(55 i \sqrt{2}-142\right) \\
-\sqrt{\frac{1}{43} \left(5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left & 8 \sqrt{\frac{1}{43} \left(30 i \sqrt{2}+7\right)} & -\frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(-55 i \sqrt{2}-142\right) \\
\sqrt{\frac{1}{43} \left(5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left & 8 \sqrt{\frac{1}{43} \left(30 i \sqrt{2}+7\right)} & -\frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(-55 i \sqrt{2}-142\right) \\
-\sqrt{\frac{1}{43} \left(5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \sqrt{\frac{1}{43} \left(1400 i \sqrt{2}-943\right)} & -8 \sqrt{\frac{1}{43} \left(30 i \sqrt{2}+7\right)} & -\frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(-55 i \sqrt{2}-142\right) \\
\sqrt{\frac{1}{43} \left(5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \sqrt{\frac{1}{43} \left(1400 i \sqrt{2}-943\right)} & -8 \sqrt{\frac{1}{43} \left(30 i \sqrt{2}+7\right)} & -\frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(-55 i \sqrt{2}-142\right) \\
0 & \text{Root}\left & \text{Root}\left & \frac{9 \left(-13 i \sqrt{3}-255\right)}{5461} & -\frac{4225 i \left(-10753 i+1105 \sqrt{3}\right)}{59645042} \\
0 & \text{Root}\left & \sqrt{\frac{13 \left(23817-5339 i \sqrt{3}\right)}{32766}} & \frac{9 \left(-13 i \sqrt{3}-255\right)}{5461} & \frac{4225 \left(-1105 i \sqrt{3}-10753\right)}{59645042} \\
0 & \text{Root}\left & \text{Root}\left & \frac{9 \left(13 i \sqrt{3}-255\right)}{5461} & \frac{4225 i \left(10753 i+1105 \sqrt{3}\right)}{59645042} \\
0 & \sqrt{\frac{13 \left(9239 i \sqrt{3}-19917\right)}{32766}} & \sqrt{\frac{13 \left(5339 i \sqrt{3}+23817\right)}{32766}} & \frac{9 \left(13 i \sqrt{3}-255\right)}{5461} & \frac{4225 \left(1105 i \sqrt{3}-10753\right)}{59645042} \\
-\sqrt{\frac{1}{127} \left(11761-2520 \sqrt{13}\right)} & \text{Root}\left & -4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(371-75 \sqrt{13}\right)} & -\frac{381}{280 \sqrt{13}} & \frac{215}{4 \sqrt{13}}-\frac{29}{4} \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(11761-2520 \sqrt{13}\right)} & \text{Root}\left & -4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(371-75 \sqrt{13}\right)} & -\frac{381}{280 \sqrt{13}} & \frac{215}{4 \sqrt{13}}-\frac{29}{4} \\
-\sqrt{\frac{1}{127} \left(11761-2520 \sqrt{13}\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(11573-2660 \sqrt{13}\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(371-75 \sqrt{13}\right)} & -\frac{381}{280 \sqrt{13}} & \frac{215}{4 \sqrt{13}}-\frac{29}{4} \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(11761-2520 \sqrt{13}\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(11573-2660 \sqrt{13}\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(371-75 \sqrt{13}\right)} & -\frac{381}{280 \sqrt{13}} & \frac{215}{4 \sqrt{13}}-\frac{29}{4} \\
-\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} & \text{Root}\left & -4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} & \frac{381}{280 \sqrt{13}} & -\frac{29}{4}-\frac{215}{4 \sqrt{13}} \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} & \text{Root}\left & -4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} & \frac{381}{280 \sqrt{13}} & -\frac{29}{4}-\frac{215}{4 \sqrt{13}} \\
-\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} & \frac{381}{280 \sqrt{13}} & -\frac{29}{4}-\frac{215}{4 \sqrt{13}} \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} & \frac{381}{280 \sqrt{13}} & -\frac{29}{4}-\frac{215}{4 \sqrt{13}} \\
\end{array}
\right)\]
选出上面结果中，abc都是非负数的情况
\[\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & x & y \\
0 & 0 & 0 & x & -\frac{1}{3} (68 x) \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(11761-2520 \sqrt{13}\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(11573-2660 \sqrt{13}\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(371-75 \sqrt{13}\right)} & -\frac{381}{280 \sqrt{13}} & \frac{215}{4 \sqrt{13}}-\frac{29}{4} \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} & \frac{381}{280 \sqrt{13}} & -\frac{29}{4}-\frac{215}{4 \sqrt{13}} \\
\end{array}
\right)\]
数值化结果是
\[\begin{array}{ccccc}
0. & 0. & 0. & x & y \\
0. & 0. & 0. & x & -22.6667 x \\
4.58945 & 3.95071 & 5.03427 & -0.377394 & 7.65757 \\
12.8121 & 12.9091 & 12.7129 & 0.377394 & -22.1576 \\
\end{array}\]
很显然只有最后两个是极值点，
但是似乎这两个明显都不符合你的在三角形内部的要求！
所以我感觉似乎没最大值，就像y=x在开区间(1,2)没最大值一样，
但是我感觉有最值可能在边界上。
@hujunhua @chyanog 你们有没有好的办法？
我用十楼的办法求解不动
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=17176&pid=83486&fromuid=865
mathematica 发表于 2020-4-1 12:50
我推测在三角形内部的情况，可能没最值！
为什么呢？
看下面的代码
Clear["Global`*"];
(*用解析几何的办法求解，A(0,0),B(xb,0),C(xc,Sqrt*xc),
利用矢量积大于零，让P点位于三角形ABC内部*)
Maximize[
{(xb*Sqrt*xc)/2,
xb>0&&
xc>0&&
(*矢量积大于等于零*)
Det[{{xb-xp,0-yp},{xc-xp,Sqrt*xc-yp}}]>=0&&
Det[{{xc-xp,Sqrt*xc-yp},{0-xp,0-yp}}]>=0&&
(*PA PB PC三个线段的长度*)
(0-xp)^2+(0-yp)^2==12^2&&
(xb-xp)^2+(0-yp)^2==6^2&&
(xc-xp)^2+(Sqrt*xc-yp)^2==7^2&&
xp>0&&yp>0
},{xb,xc,xp,yp}
]
求解结果
\[\{-\infty ,\{\text{xb}\to \text{Indeterminate},\text{xc}\to \text{Indeterminate},\text{xp}\to \text{Indeterminate},\text{yp}\to \text{Indeterminate}\}\}\]
尝试用解析几何的办法求解，但是解不出来。这个结果明显错误
本帖最后由 mathematica 于 2020-4-1 17:14 编辑
@dlpg070
我觉得你很可能问了一个烂问题：
因为PA=12, PB=6,PC=7 这个与角BAC=60度以及P点在三角形内部很可能不兼容，
我假设BPC在一条直线上，然后建立直角坐标系，
利用假设P为圆心（原点），B(-6,0),C(7,0) A(x,y)
然后计算角BAC的最大值，
代码如下：
Clear["Global`*"];
k1=(y-0)/(x-7)
k2=(y-0)/(x-(-6))
ang=ArcTan[(k1-k2)/(1+k1*k2)]*180/Pi//FullSimplify
Maximize[
{ang,
x^2+y^2==12^2
},{x,y}
]//FullSimplify
N[%,10]
运算结果如下：
\[\frac{180 \tan ^{-1}\left(\frac{13 y}{(x-1) x+y^2-42}\right)}{\pi }\]
\[\left\{\frac{180 \tan ^{-1}\left(\frac{26}{\sqrt{285}}\right)}{\pi },\left\{x\to \frac{24}{17},y\to \frac{12 \sqrt{285}}{17}\right\}\right\}\]
数值化的结果是
{57.00411453,{x->1.411764706,y->11.91666566}}
本帖最后由 mathematica 于 2020-4-2 14:12 编辑
mathematica 发表于 2020-4-1 16:46
@dlpg070
我觉得你很可能问了一个烂问题：
因为PA=12, PB=6,PC=7 这个与角BAC=60度很可能不兼容，
Clear["Global`*"];
(*定义余弦定理*)
fun:=a^2+b^2-2*a*b*Cos
NMaximize[
{(m+n)*180/Pi,
(*两次余弦定理*)
c^2==fun&&
b^2==fun&&
(*两次正弦定理*)
Sin/6==Sin/12&&
Sin/7==Sin/12&&
(*确保PA在BC的同一侧*)
x+y>=Pi&&
(*变量都是正的*)
b>0&&c>0&&
x>0&&y>0&&
m>0&&n>0&&
(*下面两个角肯定是锐角*)
m<Pi/2&&
n<Pi/2
},{m,n,x,y,b,c}
]
结果
{57.0041,{m->0.438495,n->0.556415,x->1.68872,y->1.45288,b->13.1619,c->14.0336}}
这个证明了，如果在三角形内部，并且（PA=12, PB=6,PC=7），那么三角形的∠BAC最多只能57.0041°，
与你给出的条件不兼容！
20200402_141029
代码有些多余，我重新写一下，去掉无意义的约束
Clear["Global`*"];
PA=12
PB=6
PC=7
ans=NMaximize[
{(m+n)*180/Pi,
(*两次正弦定理*)
Sin/PB==Sin[(m+x)]/PA&&
Sin/PC==Sin[(n+y)]/PA&&
(*确保PA在BC的同一侧*)
x+y>=Pi&&
(*变量都是正的*)
m>0&&n>0&&
x>0&&y>0&&
(*下面两个角肯定是锐角*)
m<Pi/2&&n<Pi/2&&
(*三角形的两个内角的内角和小于180°*)
m+x<Pi&&
n+y<Pi
},{m,n,x,y},AccuracyGoal->40,PrecisionGoal->40,WorkingPrecision->60,MaxIterations->500
]
({m,n,x,y}*180/Pi//FullSimplify)/.ans[]
{57.0041145264204657483940831206175197681178927577708301044938,
{m->0.438494666822357262610464017215487878275269599701045066710360,
n->0.556414818847608020146346746834357533312866699730683425933888,
x->1.68871647882014921302762698672747330201041702143966334860680,
y->1.45287617476964402543501639655214091658141801661231101425961}}
换算成角度制，就是
{25.1238937479162753228875163525255922888958260225872862061488,
31.8802207785041904255065667680919274792220667351835438983450,
96.7563270305880203125913503260420666053239853565487780937894,
83.2436729694119796874086496739643123856049995655833936028957}
后两个角度相加等于180°