mathematica 发表于 2020-4-1 17:08
结果
{57.0041,{m->0.438495,n->0.556415,x->1.68872,y->1.45288,b->13.1619,c->14.0336}}
换一种精确的办法证明最大角度没达到60.
Clear["Global`*"];
{xb,yb}={-6,0}
k1=(ya-yc)/(xa-xc)
k2=(ya-yb)/(xa-xb)
f=(k1-k2)/(1+k1*k2)//FullSimplify
Maximize[
{f,
(xa^2+ya^2-12^2)==0&&
(xc^2+yc^2-7^2)==0&&
ya>=0&&yc<=0
},{xa,ya,xc,yc}
]//FullSimplify
Minimize[
{f,
(xa^2+ya^2-12^2)==0&&
(xc^2+yc^2-7^2)==0&&
ya>=0&&yc<=0
},{xa,ya,xc,yc}
]//FullSimplify
计算结果
\[\left\{\frac{26}{\sqrt{285}},\left\{\text{xa}\to \frac{24}{17},\text{ya}\to \frac{12 \sqrt{285}}{17},\text{xc}\to 7,\text{yc}\to 0\right\}\right\}\]
\[\left\{-\frac{7}{\sqrt{95}},\left\{\text{xa}\to -12,\text{ya}\to 0,\text{xc}\to -\frac{49}{12},\text{yc}\to -\frac{1}{12} \left(7 \sqrt{95}\right)\right\}\right\}\]
可以利用反正切计算。角度都没超过60°
本帖最后由 mathematica 于 2020-4-2 10:40 编辑
这个问题还可以用解析几何的办法来搞定，
方法有多种，最后的结果是一样的
Clear["Global`*"];
(*用解析几何的办法求解，A(0,0),B(xb,0),C(xc,Sqrt*xc),*)
{xa,ya}={0,0}
{xb,yb}={xb,0}
{xc,yc}={xc,Sqrt*xc}
out=Maximize[{xb*yc/2,(*定义面积的目标函数*)
(*三条线段的长度*)
(xa-x)^2+(ya-y)^2==10^2&&
(xb-x)^2+(yb-y)^2==6^2&&
(xc-x)^2+(yc-y)^2==7^2&&
(*限制变量范围*)
xb>0&&xc>0
},{xb,xc,x,y}
]//FullSimplify
(*定义两点之间距离公式*)
fun:=Sqrt[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
{AB,BC,CA}={
fun,
fun,
fun
}
(*求解三边的长度*)
aaa=({AB,BC,CA}/.out[])//FullSimplify
\[\left\{\sqrt{3} \left(5 \sqrt{13}+23\right),\left\{\text{xb}\to 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)},\text{xc}\to \frac{14 \sqrt{13}+95}{2 \sqrt{127}},x\to \frac{100}{\sqrt{127}},y\to 30 \sqrt{\frac{3}{127}}\right\}\right\}\]
数值化结果是
{71.062158566076168780,{xb->12.712856367340988619,xc->6.4545299957481201097,x->8.8735650941611377030,y->4.6108396762070397724}}
AB BC CA的三边边长是
\[\left\{4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)},\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)},\frac{14 \sqrt{13}+95}{\sqrt{127}}\right\}\]
再化简结果是：
\[\left\{\frac{4}{127} \left(25 \sqrt{127}+3 \sqrt{1651}\right),\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)},\frac{14 \sqrt{13}+95}{\sqrt{127}}\right\}\]
数值化后结果是：
{12.712856367340988619,12.812084973625933655,12.909059991496240219}
王守恩 发表于 2020-3-14 06:55
题目一：P在△ABC内，∠BAC=60°，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角∠PBA=∠PCA ...
对27楼调整如下。
题目一：P在△ABC内，∠BAC=60°，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角∠PBA=∠PCA=x，7 对应的角∠PAB=∠PCB=y，
\(\D\frac{10}{\sin(x)}=\frac{7}{\sin(y)}=\frac{6}{\sin(60^\circ-y)\ \ \ \ }=\frac{AB}{\sin(x+y)\ \ }=\frac{AC}{\sin(60^\circ+x-y)\ \ \ \ \ \ }\)
\(\D S=\frac{AB*AC*\sin(60^\circ)\ \ \ \ \ \ \ \ }{2}=71.0622\)
在这里：10, 7, 6 不可以是任意数， arctan(7/10)+arctan(6/10) < ∠BAC 时无最大面积 S。
题目二：P在△ABC内，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角∠PBA=∠PCA=x，7 对应的角∠PAB=∠PCB=y，
\(\D\frac{10}{\sin(x)}=\frac{7}{\sin(y)}=\frac{6}{\sin(90^\circ-x-y)\ \ \ \ \ \ }=\frac{AB}{\sin(x+y)\ \ }=\frac{AC}{\sin(90^\circ-y)\ \ \ \ }\)
\(\D S=\frac{AB*AC*\sin(90^\circ-x)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{2}=75.0352\)
在这里：10, 7, 6 可以是任意数。
题目二：P在△ABC内，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
\(\D\cos^{-1}(\frac{10}{x})+\cos^{-1}(\frac{7}{x})+\cos^{-1}(\frac{6}{x})=\pi\)
\(\D S=\frac{10*7\sqrt{x^2-6^2\ \ \ \ }+7*6\sqrt{x^2-10^2\ \ \ \ }+6*10\sqrt{x^2-7^2\ \ \ \ }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{2x}=75.0352\)
题目二：P在△ABC内，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
\(\D x=\frac{x^3-2*10*7*6\ \ \ \ \ \ }{10^2+7^2+6^2}\)
\(\D S=\frac{10*7\sqrt{x^2-6^2\ \ \ \ }+7*6\sqrt{x^2-10^2\ \ \ \ }+6*10\sqrt{x^2-7^2\ \ \ \ }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{2x}=75.0352\)
在这里：10, 7, 6 可以是任意数。