已知PA, PB, PC和∠A, 求△ABC的最大面积

mathematica

mathematica 发表于 2020-4-1 17:08
结果
{57.0041,{m->0.438495,n->0.556415,x->1.68872,y->1.45288,b->13.1619,c->14.0336}}

换一种精确的办法证明最大角度没达到60.

1. Clear["Global`*"];
   
2. {xb,yb}={-6,0}
   
3. k1=(ya-yc)/(xa-xc)
   
4. k2=(ya-yb)/(xa-xb)
   
5. f=(k1-k2)/(1+k1*k2)//FullSimplify
   
6. Maximize[
   
7.     {f,
   
8.     (xa^2+ya^2-12^2)==0&&
   
9.     (xc^2+yc^2-7^2)==0&&
   
10.     ya>=0&&yc<=0
    
11.     },{xa,ya,xc,yc}
    
12. ]//FullSimplify
    
13. Minimize[
    
14.     {f,
    
15.     (xa^2+ya^2-12^2)==0&&
    
16.     (xc^2+yc^2-7^2)==0&&
    
17.     ya>=0&&yc<=0
    
18.     },{xa,ya,xc,yc}
    
19. ]//FullSimplify
    

复制代码

计算结果
\[\left\{\frac{26}{\sqrt{285}},\left\{\text{xa}\to \frac{24}{17},\text{ya}\to \frac{12 \sqrt{285}}{17},\text{xc}\to 7,\text{yc}\to 0\right\}\right\}\]

\[\left\{-\frac{7}{\sqrt{95}},\left\{\text{xa}\to -12,\text{ya}\to 0,\text{xc}\to -\frac{49}{12},\text{yc}\to -\frac{1}{12} \left(7 \sqrt{95}\right)\right\}\right\}\]
可以利用反正切计算。角度都没超过60°

mathematica

这个问题还可以用解析几何的办法来搞定，
方法有多种，最后的结果是一样的

1. 
   
2. Clear["Global`*"];
   
3. (*用解析几何的办法求解，A(0,0),B(xb,0),C(xc,Sqrt[3]*xc),*)
   
4. {xa,ya}={0,0}
   
5. {xb,yb}={xb,0}
   
6. {xc,yc}={xc,Sqrt[3]*xc}
   
7. out=Maximize[{xb*yc/2,(*定义面积的目标函数*)
   
8.     (*三条线段的长度*)
   
9.     (xa-x)^2+(ya-y)^2==10^2&&
   
10.     (xb-x)^2+(yb-y)^2==6^2&&
    
11.     (xc-x)^2+(yc-y)^2==7^2&&
    
12.     (*限制变量范围*)
    
13.     xb>0&&xc>0
    
14. },{xb,xc,x,y}
    
15. ]//FullSimplify
    
16. (*定义两点之间距离公式*)
    
17. fun[x1_,y1_,x2_,y2_]:=Sqrt[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
    
18. {AB,BC,CA}={
    
19. fun[xa,ya,xb,yb],
    
20. fun[xc,yc,xb,yb],
    
21. fun[xc,yc,xa,ya]
    
22. }
    
23. (*求解三边的长度*)
    
24. aaa=({AB,BC,CA}/.out[[2]])//FullSimplify
    

复制代码

\[\left\{\sqrt{3} \left(5 \sqrt{13}+23\right),\left\{\text{xb}\to 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)},\text{xc}\to \frac{14 \sqrt{13}+95}{2 \sqrt{127}},x\to \frac{100}{\sqrt{127}},y\to 30 \sqrt{\frac{3}{127}}\right\}\right\}\]

数值化结果是
{71.062158566076168780,{xb->12.712856367340988619,xc->6.4545299957481201097,x->8.8735650941611377030,y->4.6108396762070397724}}

AB BC CA的三边边长是

\[\left\{4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)},\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)},\frac{14 \sqrt{13}+95}{\sqrt{127}}\right\}\]

再化简结果是：
\[\left\{\frac{4}{127} \left(25 \sqrt{127}+3 \sqrt{1651}\right),\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)},\frac{14 \sqrt{13}+95}{\sqrt{127}}\right\}\]
数值化后结果是：
{12.712856367340988619,12.812084973625933655,12.909059991496240219}

王守恩

王守恩 发表于 2020-3-14 06:55
题目一：P在△ABC内，∠BAC=60°，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角∠PBA=∠PCA ...

对27楼调整如下。


题目一：P在△ABC内，∠BAC=60°，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。

记 10 对应的角∠PBA=∠PCA=x，7 对应的角∠PAB=∠PCB=y，

\(\D\frac{10}{\sin(x)}=\frac{7}{\sin(y)}=\frac{6}{\sin(60^\circ-y)\ \ \ \ }=\frac{AB}{\sin(x+y)\ \ }=\frac{AC}{\sin(60^\circ+x-y)\ \ \ \ \ \ }\)

\(\D S=\frac{AB*AC*\sin(60^\circ)\ \ \ \ \ \ \ \ }{2}=71.0622\)

在这里：10, 7, 6 不可以是任意数， arctan(7/10)+arctan(6/10) < ∠BAC 时无最大面积 S。


题目二：P在△ABC内，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。

记 10 对应的角∠PBA=∠PCA=x，7 对应的角∠PAB=∠PCB=y，

\(\D\frac{10}{\sin(x)}=\frac{7}{\sin(y)}=\frac{6}{\sin(90^\circ-x-y)\ \ \ \ \ \ }=\frac{AB}{\sin(x+y)\ \ }=\frac{AC}{\sin(90^\circ-y)\ \ \ \ }\)

\(\D S=\frac{AB*AC*\sin(90^\circ-x)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{2}=75.0352\)

在这里：10, 7, 6 可以是任意数。

王守恩

题目二：P在△ABC内，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。

\(\D\cos^{-1}(\frac{10}{x})+\cos^{-1}(\frac{7}{x})+\cos^{-1}(\frac{6}{x})=\pi\)

\(\D S=\frac{10*7\sqrt{x^2-6^2\ \ \ \ }+7*6\sqrt{x^2-10^2\ \ \ \ }+6*10\sqrt{x^2-7^2\ \ \ \ }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{2x}=75.0352\)




题目二：P在△ABC内，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。

\(\D x=\frac{x^3-2*10*7*6\ \ \ \ \ \ }{10^2+7^2+6^2}\)

\(\D S=\frac{10*7\sqrt{x^2-6^2\ \ \ \ }+7*6\sqrt{x^2-10^2\ \ \ \ }+6*10\sqrt{x^2-7^2\ \ \ \ }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{2x}=75.0352\)


在这里：10, 7, 6 可以是任意数。