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# [求助] 已知PA, PB, PC和∠A, 求△ABC的最大面积

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 ∠BAC=60° 是多余的吧.  问题就是 $PA=a,PB=b,PC=c$,求$1/2bcsinx+1/2acsiny+1/2ab sinz$ 在$x+y+z=2\pi$的情况下的最大值. 求导得知 最大值在 $\frac{cosx}{a}=\frac{cosy}{b}=\frac{cosz}{c}$取得. NMaximize[{1/2a b Sin[z Degree] + 1/2b c Sin[x Degree] + 1/2a c Sin[y Degree],  x + y + z == 360}, {x, y, z}]复制代码 答案是 {75.0352, {x -> 130.274, y -> 112.822, z -> 116.905}}复制代码

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 算得结果是$S = 23 \sqrt{3}+5 \sqrt{39}=71.047373$ $BC = \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)}$ $CA = \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)}$ $AB = 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)}$

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wayne + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 第一个算的答案的,赞赞赞

 wayne 发表于 2020-3-8 10:09 ∠BAC=60° 是多余的吧.  问题就是 $PA=a,PB=b,PC=c$,求$1/2bcsinx+1/2acsiny+1/2ab sinz$ 在$x+y+z=2\pi$ ... 唯一正确的标准答案来了！ Clear["Global`*"]; (*定义余弦定理*) fun[a_,b_,x_]:=a^2+b^2-2*a*b*Cos[x*Degree] out=NMaximize[{1/2*(6*7*Sin[x*Degree]+10*7*Sin[y*Degree]+6*10*Sin[z*Degree]), (*三个角相加是360*) x+y+z==360&& (*应用四次余弦定理*) a^2==fun[6,7,x]&& b^2==fun[10,7,y]&& c^2==fun[10,6,z]&& a^2==fun[b,c,60]&&(*角BAC等于60°*) x>0&&y>0&&z>0&& a>0&&b>0&&c>0 },{a,b,c,x,y,z},AccuracyGoal->120,PrecisionGoal->120,WorkingPrecision->150,MaxIterations->200] 复制代码 求解结果 {71.062158566076168780365731459334036745049320727597035987548420180442\ 5153919354999903799904956765017965136657855690822242931702013589471877\ 405008779664, {a ->    12.8120849736259336554597902565463729530802469473926721429117084844\ 3905529535419193740379975072947777944468878085684903625681403016625059\ 49818792144376,   b -> 12.909059991496240219334346102400034292059556308198204073088691\ 6330698384664231238052236522670425875205472983287515792777410943242598\ 598321141682164516,   c -> 12.712856367340988618563860753605615733075409867645939595600153\ 2863198461651459462385559030139485155447032672685967633060381672715627\ 281121347448069983,   x -> 160.43397586393797871163020237844799970412553394577721499801820\ 2711929031684589048180546308133862144591193712896976592173378793809989\ 65494183269294396,   y -> 97.240088163969271738977055431890034393486754386195275984599508\ 1931985052078186311041854471954142766844224227434511506706787245755514\ 965818899222121477,   z -> 102.32593597209274954939274218966196590238771166802750901738228\ 9094872463107592320715268244670723578724383864359572257155942481614458\ 848476277384843892}}

 zeus 发表于 2020-3-8 11:12 算得结果是$S = 23 \sqrt{3}+5 \sqrt{39}=71.047373$ $BC = \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11 ... N[23 Sqrt[3] + 5 Sqrt[39], 100] 这个结果是 71.0621585660761687803657314593340367450493207275970359875484201804425\ 1539181997335603304285652342018 不知道你为什么算错了数值结果！ 毋因群疑而阻独见 毋任己意而废人言 毋私小惠而伤大体 毋借公论以快私情 回复 支持 反对 发表于 2020-3-8 12:25:07 | 显示全部楼层  zeus 发表于 2020-3-8 11:12 算得结果是$S = 23 \sqrt{3}+5 \sqrt{39}=71.047373BC = \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11 ... 你的答案与我的很接近，但是我算到250位后，发现你我只有120多位数字是想同的， 暂时不知道你答案的真伪

 以前论坛里讨论过相关问题：https://bbs.emath.ac.cn/thread-3727-1-1.html 知乎上相关的问题： 求△ABC的最大面积和最大周长? https://www.zhihu.com/question/31569129 在三个同心圆上分别取一个点连接成三角形，何时面积最大？何时周长最大？ https://www.zhihu.com/question/40401977

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 chyanog 发表于 2020-3-8 13:10 以前论坛里讨论过相关问题：https://bbs.emath.ac.cn/thread-3727-1-1.html 知乎上相关的问题： 大哥，冷静一点， 这个题目，有个限制条件，∠BAC等于60°， 这个条件很重要！

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 好吧,如果60°硬要加进来,也是可以做的. 已知六条边长,根据余弦定理 和Cayley—Menger 行列式计算四面体体积为0,得到两个约束, 然后求海伦公式形式的面积 最大值. https://mathworld.wolfram.com/Cayley-MengerDeterminant.html https://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html {x,y,z}={10,6,7}; ans=Maximize[{Sqrt[-Det[{{0,1,1,1},{1,0,c^2,b^2},{1,c^2,0,a^2},{1,b^2,a^2,0}}]]/4,b^2+c^2-b c==a^2&&Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,c^2,b^2,x^2},{1,c^2,0,a^2,y^2},{1,b^2,a^2,0,z^2},{1,x^2,y^2,z^2,0}}]==0&&a+b>c&&b+c>a&&c+a>b},{a,b,c}]//FullSimplify复制代码 跟zeus答案一样,  面积 $S =\sqrt{3} (5 \sqrt{13}+23) = 71.0622$,  其中 边长$BC = a = \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} = 12.8121, AC = b= \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)} = 12.9091 , AB= c=\frac{4 \left(3 \sqrt{13}+25\right)}{\sqrt{127}} = 12.7129$ 然后验证答案,计算一下 $∠APB = 102.326°, ∠BPC = 160.434° , ∠CPA = 97.2401°$, 之和确实是360°,在三角形内部., , FullSimplify[ArcCos[(#1^2+#2^2-#3^2)/(2 #1 #2)]&@@@{{x,y,c},{y,z,a},{z,x,b}}/.ans[[2]]]180/Pi//N复制代码

 本帖最后由 chyanog 于 2020-3-8 17:07 编辑 和wayne的方法类似，结果也一样，只不过用面积关系代替了行列式，计算速度慢一些 S[a_, b_, c_] := 1/4 Sqrt[(a + b - c) (a - b + c) (-a + b + c) (a + b + c)]; {x, y, z} = {10, 6, 7}; Maximize[{S[a, b, c], -a^2 + b^2 + c^2 == b c,  S[x, y, c] + S[y, z, a] + S[z, x, b] == S[a, b, c], a + b > c, b + c > a, c + a > b}, {b, c, a}] // FullSimplify复制代码

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mathematica太牛逼了，什么方程都能解出来，反正我是解不出来，太难了！  发表于 2020-3-9 12:20

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