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[求助] 向大家求助一道三角题

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发表于 2020-3-8 09:39:09 | 显示全部楼层 |阅读模式

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在△ABC中,∠BAC=60°。P在△ABC内。PA=10,PB=6,PC=7 求△ABC的最大面积。个人猜测是在等边三角形的时候面积最大,但是没有解题思路和方法。曾想到用Oppenheim不等式去求解,但是发现不等式求出的最大值和按照等边三角形计算的面积不同。
希望大家能和我一起讨论一下
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-8 10:09:55 | 显示全部楼层
∠BAC=60° 是多余的吧.  问题就是 $PA=a,PB=b,PC=c$,求$1/2bcsinx+1/2acsiny+1/2ab sinz$ 在$x+y+z=2\pi$的情况下的最大值.
求导得知 最大值在 $\frac{cosx}{a}=\frac{cosy}{b}=\frac{cosz}{c}$取得.

  1. NMaximize[{1/2a b Sin[z Degree] + 1/2b c Sin[x Degree] + 1/2a c Sin[y Degree],  x + y + z == 360}, {x, y, z}]
复制代码
答案是
  1. {75.0352, {x -> 130.274, y -> 112.822, z -> 116.905}}
复制代码

点评

不多余,不要的话,就是垂心  发表于 2020-3-15 22:28
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-8 11:12:50 | 显示全部楼层
算得结果是$S = 23 \sqrt{3}+5 \sqrt{39}=71.047373$
$BC = \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)}$
$CA = \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)}$
$AB = 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} $

点评

你的方法是什么?  发表于 2020-3-10 13:22

评分

参与人数 1威望 +12 金币 +12 贡献 +12 经验 +12 鲜花 +12 收起 理由
wayne + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 第一个算的答案的,赞赞赞

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-8 12:10:10 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2020-3-8 10:09
∠BAC=60° 是多余的吧.  问题就是 $PA=a,PB=b,PC=c$,求$1/2bcsinx+1/2acsiny+1/2ab sinz$ 在$x+y+z=2\pi$ ...

唯一正确的标准答案来了!
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*定义余弦定理*)
  3. fun[a_,b_,x_]:=a^2+b^2-2*a*b*Cos[x*Degree]
  4. out=NMaximize[{1/2*(6*7*Sin[x*Degree]+10*7*Sin[y*Degree]+6*10*Sin[z*Degree]),
  5. (*三个角相加是360*)
  6. x+y+z==360&&
  7. (*应用四次余弦定理*)
  8. a^2==fun[6,7,x]&&
  9. b^2==fun[10,7,y]&&
  10. c^2==fun[10,6,z]&&
  11. a^2==fun[b,c,60]&&(*角BAC等于60°*)
  12. x>0&&y>0&&z>0&&
  13. a>0&&b>0&&c>0
  14. },{a,b,c,x,y,z},AccuracyGoal->120,PrecisionGoal->120,WorkingPrecision->150,MaxIterations->200]
复制代码


求解结果
{71.062158566076168780365731459334036745049320727597035987548420180442\
5153919354999903799904956765017965136657855690822242931702013589471877\
405008779664, {a ->
   12.8120849736259336554597902565463729530802469473926721429117084844\
3905529535419193740379975072947777944468878085684903625681403016625059\
49818792144376,
  b -> 12.909059991496240219334346102400034292059556308198204073088691\
6330698384664231238052236522670425875205472983287515792777410943242598\
598321141682164516,
  c -> 12.712856367340988618563860753605615733075409867645939595600153\
2863198461651459462385559030139485155447032672685967633060381672715627\
281121347448069983,
  x -> 160.43397586393797871163020237844799970412553394577721499801820\
2711929031684589048180546308133862144591193712896976592173378793809989\
65494183269294396,
  y -> 97.240088163969271738977055431890034393486754386195275984599508\
1931985052078186311041854471954142766844224227434511506706787245755514\
965818899222121477,
  z -> 102.32593597209274954939274218966196590238771166802750901738228\
9094872463107592320715268244670723578724383864359572257155942481614458\
848476277384843892}}
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-8 12:15:28 | 显示全部楼层
zeus 发表于 2020-3-8 11:12
算得结果是$S = 23 \sqrt{3}+5 \sqrt{39}=71.047373$
$BC = \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11 ...

N[23 Sqrt[3] + 5 Sqrt[39], 100]
这个结果是
71.0621585660761687803657314593340367450493207275970359875484201804425\
1539181997335603304285652342018
不知道你为什么算错了数值结果!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-8 12:25:07 | 显示全部楼层
zeus 发表于 2020-3-8 11:12
算得结果是$S = 23 \sqrt{3}+5 \sqrt{39}=71.047373$
$BC = \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11 ...

你的答案与我的很接近,但是我算到250位后,发现你我只有120多位数字是想同的,
暂时不知道你答案的真伪
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-8 13:10:43 | 显示全部楼层
以前论坛里讨论过相关问题:https://bbs.emath.ac.cn/thread-3727-1-1.html

知乎上相关的问题:
求△ABC的最大面积和最大周长?
https://www.zhihu.com/question/31569129

在三个同心圆上分别取一个点连接成三角形,何时面积最大?何时周长最大?
https://www.zhihu.com/question/40401977

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多边形最大面积要满足:任何相邻三点,两边两点的连线与中间点处圆的切线平行。 最大周长满足:任何相邻三点,以两边两点为焦点的椭圆与中间点的圆相切于中间点。  发表于 2020-3-16 12:28
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-8 13:58:07 | 显示全部楼层
chyanog 发表于 2020-3-8 13:10
以前论坛里讨论过相关问题:https://bbs.emath.ac.cn/thread-3727-1-1.html

知乎上相关的问题:

大哥,冷静一点,
这个题目,有个限制条件,∠BAC等于60°,
这个条件很重要!

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加上这个条件,确实不太一样  发表于 2020-3-8 15:58
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-3-8 15:15:45 | 显示全部楼层
好吧,如果60°硬要加进来,也是可以做的.
已知六条边长,根据余弦定理 和Cayley—Menger 行列式计算四面体体积为0,得到两个约束, 然后求海伦公式形式的面积 最大值.
https://mathworld.wolfram.com/Cayley-MengerDeterminant.html
https://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html
  1. {x,y,z}={10,6,7};
  2. ans=Maximize[{Sqrt[-Det[{{0,1,1,1},{1,0,c^2,b^2},{1,c^2,0,a^2},{1,b^2,a^2,0}}]]/4,b^2+c^2-b c==a^2&&Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,c^2,b^2,x^2},{1,c^2,0,a^2,y^2},{1,b^2,a^2,0,z^2},{1,x^2,y^2,z^2,0}}]==0&&a+b>c&&b+c>a&&c+a>b},{a,b,c}]//FullSimplify
复制代码

跟zeus答案一样,  面积 $S =\sqrt{3} (5 \sqrt{13}+23) = 71.0622$,  其中 边长$BC = a = \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} = 12.8121,  AC = b= \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)} = 12.9091 , AB= c=\frac{4 \left(3 \sqrt{13}+25\right)}{\sqrt{127}} = 12.7129$
然后验证答案,计算一下 $∠APB = 102.326°, ∠BPC = 160.434° , ∠CPA = 97.2401°$, 之和确实是360°,在三角形内部., ,
  1. FullSimplify[ArcCos[(#1^2+#2^2-#3^2)/(2 #1 #2)]&@@@{{x,y,c},{y,z,a},{z,x,b}}/.ans[[2]]]180/Pi//N
复制代码

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-8 16:13:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 chyanog 于 2020-3-8 17:07 编辑

和wayne的方法类似,结果也一样,只不过用面积关系代替了行列式,计算速度慢一些
微信截图_20200308170656.png
  1. S[a_, b_, c_] := 1/4 Sqrt[(a + b - c) (a - b + c) (-a + b + c) (a + b + c)];
  2. {x, y, z} = {10, 6, 7};
  3. Maximize[{S[a, b, c], -a^2 + b^2 + c^2 == b c,  S[x, y, c] + S[y, z, a] + S[z, x, b] == S[a, b, c], a + b > c, b + c > a, c + a > b}, {b, c, a}] // FullSimplify
复制代码

点评

mathematica太牛逼了,什么方程都能解出来,反正我是解不出来,太难了!  发表于 2020-3-9 12:20
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