已知PA, PB, PC和∠A, 求△ABC的最大面积

人教版高中

在△ABC中，∠BAC=60°。P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7 求△ABC的最大面积。

猜测等边三角形时面积最大，但是没有解题思路和方法。
用Oppenheim不等式去求解，结果与等边三角形时的面积不同。

wayne

∠BAC=60° 是多余的吧.  问题就是 $PA=a,PB=b,PC=c$,求$1/2bcsinx+1/2acsiny+1/2ab sinz$ 在$x+y+z=2\pi$的情况下的最大值.
求导得知 最大值在 $\frac{cosx}{a}=\frac{cosy}{b}=\frac{cosz}{c}$取得.

1. NMaximize[{1/2a b Sin[z Degree] + 1/2b c Sin[x Degree] + 1/2a c Sin[y Degree],  x + y + z == 360}, {x, y, z}]

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答案是

1. {75.0352, {x -> 130.274, y -> 112.822, z -> 116.905}}

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zeus

算得结果是$S = 23 \sqrt{3}+5 \sqrt{39}=71.047373$
$BC = \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)}$
$CA = \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)}$
$AB = 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} $

mathematica

wayne 发表于 2020-3-8 10:09
∠BAC=60° 是多余的吧.  问题就是 $PA=a,PB=b,PC=c$,求$1/2bcsinx+1/2acsiny+1/2ab sinz$ 在$x+y+z=2\pi$ ...

唯一正确的标准答案来了！

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*定义余弦定理*)
   
3. fun[a_,b_,x_]:=a^2+b^2-2*a*b*Cos[x*Degree]
   
4. out=NMaximize[{1/2*(6*7*Sin[x*Degree]+10*7*Sin[y*Degree]+6*10*Sin[z*Degree]),
   
5. (*三个角相加是360*)
   
6. x+y+z==360&&
   
7. (*应用四次余弦定理*)
   
8. a^2==fun[6,7,x]&&
   
9. b^2==fun[10,7,y]&&
   
10. c^2==fun[10,6,z]&&
    
11. a^2==fun[b,c,60]&&(*角BAC等于60°*)
    
12. x>0&&y>0&&z>0&&
    
13. a>0&&b>0&&c>0
    
14. },{a,b,c,x,y,z},AccuracyGoal->120,PrecisionGoal->120,WorkingPrecision->150,MaxIterations->200]
    

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求解结果
{71.062158566076168780365731459334036745049320727597035987548420180442\
5153919354999903799904956765017965136657855690822242931702013589471877\
405008779664, {a ->
   12.8120849736259336554597902565463729530802469473926721429117084844\
3905529535419193740379975072947777944468878085684903625681403016625059\
49818792144376,
  b -> 12.909059991496240219334346102400034292059556308198204073088691\
6330698384664231238052236522670425875205472983287515792777410943242598\
598321141682164516,
  c -> 12.712856367340988618563860753605615733075409867645939595600153\
2863198461651459462385559030139485155447032672685967633060381672715627\
281121347448069983,
  x -> 160.43397586393797871163020237844799970412553394577721499801820\
2711929031684589048180546308133862144591193712896976592173378793809989\
65494183269294396,
  y -> 97.240088163969271738977055431890034393486754386195275984599508\
1931985052078186311041854471954142766844224227434511506706787245755514\
965818899222121477,
  z -> 102.32593597209274954939274218966196590238771166802750901738228\
9094872463107592320715268244670723578724383864359572257155942481614458\
848476277384843892}}

mathematica

zeus 发表于 2020-3-8 11:12
算得结果是$S = 23 \sqrt{3}+5 \sqrt{39}=71.047373$
$BC = \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11 ...

N[23 Sqrt[3] + 5 Sqrt[39], 100]
这个结果是
71.0621585660761687803657314593340367450493207275970359875484201804425\
1539181997335603304285652342018
不知道你为什么算错了数值结果！

mathematica

zeus 发表于 2020-3-8 11:12
算得结果是$S = 23 \sqrt{3}+5 \sqrt{39}=71.047373$
$BC = \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11 ...

你的答案与我的很接近，但是我算到250位后，发现你我只有120多位数字是想同的，
暂时不知道你答案的真伪

chyanog

以前论坛里讨论过相关问题：https://bbs.emath.ac.cn/thread-3727-1-1.html

知乎上相关的问题：
求△ABC的最大面积和最大周长?
https://www.zhihu.com/question/31569129

在三个同心圆上分别取一个点连接成三角形，何时面积最大？何时周长最大？
https://www.zhihu.com/question/40401977

mathematica

chyanog 发表于 2020-3-8 13:10
以前论坛里讨论过相关问题：https://bbs.emath.ac.cn/thread-3727-1-1.html

知乎上相关的问题：

大哥，冷静一点，
这个题目，有个限制条件，∠BAC等于60°，
这个条件很重要！

wayne

好吧,如果60°硬要加进来,也是可以做的.
已知六条边长,根据余弦定理 和Cayley—Menger 行列式计算四面体体积为0,得到两个约束, 然后求海伦公式形式的面积 最大值.
https://mathworld.wolfram.com/Cayley-MengerDeterminant.html
https://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html

1. {x,y,z}={10,6,7};
   
2. ans=Maximize[{Sqrt[-Det[{{0,1,1,1},{1,0,c^2,b^2},{1,c^2,0,a^2},{1,b^2,a^2,0}}]]/4,b^2+c^2-b c==a^2&&Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,c^2,b^2,x^2},{1,c^2,0,a^2,y^2},{1,b^2,a^2,0,z^2},{1,x^2,y^2,z^2,0}}]==0&&a+b>c&&b+c>a&&c+a>b},{a,b,c}]//FullSimplify

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跟zeus答案一样,  面积 $S =\sqrt{3} (5 \sqrt{13}+23) = 71.0622$,  其中 边长$BC = a = \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} = 12.8121,  AC = b= \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)} = 12.9091 , AB= c=\frac{4 \left(3 \sqrt{13}+25\right)}{\sqrt{127}} = 12.7129$
然后验证答案,计算一下 $∠APB = 102.326°, ∠BPC = 160.434° , ∠CPA = 97.2401°$, 之和确实是360°,在三角形内部., ,

1. FullSimplify[ArcCos[(#1^2+#2^2-#3^2)/(2 #1 #2)]&@@@{{x,y,c},{y,z,a},{z,x,b}}/.ans[[2]]]180/Pi//N

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chyanog

和wayne的方法类似，结果也一样，只不过用面积关系代替了行列式，计算速度慢一些

1. S[a_, b_, c_] := 1/4 Sqrt[(a + b - c) (a - b + c) (-a + b + c) (a + b + c)];
   
2. {x, y, z} = {10, 6, 7};
   
3. Maximize[{S[a, b, c], -a^2 + b^2 + c^2 == b c,  S[x, y, c] + S[y, z, a] + S[z, x, b] == S[a, b, c], a + b > c, b + c > a, c + a > b}, {b, c, a}] // FullSimplify

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