已知PA, PB, PC和∠A, 求△ABC的最大面积

王守恩

wayne 发表于 2020-3-8 10:09
∠BAC=60° 是多余的吧.  问题就是 $PA=a,PB=b,PC=c$,求$1/2bcsinx+1/2acsiny+1/2ab sinz$ 在$x+y+z=2\pi$ ...

P在△ABC内。PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S 。

我们记10对应的边为a，7对应的边为b，6对应的边为c，
      记10对应的角为x，7对应的角为y，6对应的角为z，
由 sin(x):sin(y):sin(z)=10:7:6，x+y+z=90°  解得 {x,y,z}
x -> 40.2737, y -> 26.9047, z -> 22.8216
a^2=07^2+06^2+2*07*06*cos(y+z)
b^2=06^2+10^2+2*06*10*cos(z+x)
c^2=10^2+07^2+2*10*07*cos(x+y)
S=a*b*sin(x+y)/2=b*c*sin(y+z)/2=c*a*sin(z+x)/2=75.0352

王守恩

人教版高中 发表于 2020-3-10 07:30
谢谢大家的回复~真是涨知识了。这么看来这题是不能用手算解出来的是吗？

在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。



     设\(∠PAB=30^\circ-a，∠PAC=30^\circ+a \)

     由方程 \(\D\frac{\sin(30^\circ-a)}{sin(30^\circ+a)}=\frac{6}{7}\)   可得 \(a=2.5429239^\circ\)
     由正弦定理
     \(b=\sqrt{49-100\sin^2(30^\circ+a)}+10\cos(30^\circ+a)\)
     \(c=\sqrt{36-100\sin^2(30^\circ-a)}+10\cos(30^\circ-a)\)

     \(S=b*c*\sin60^\circ/2=71.0622\)

mathematica

王守恩 发表于 2020-3-12 10:37
在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

请问你的
\[\D\frac{\sin(30^\circ-a)}{sin(30^\circ+a)}=\frac{6}{7}\]
这个表达式是怎么得到的？

mathematica

王守恩 发表于 2020-3-12 10:37
在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

详细写一下你的思路与过程！

mathematica

王守恩 发表于 2020-3-12 10:37
在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

写出你的具体分析过程，30°怎么来的
那个角度相加不是360度吗？为什么你是90度？

你要让大家相信，尤其是让我相信：你不是在凑答案！

王守恩

王守恩 发表于 2020-3-12 10:37
在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内，PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

      设\(∠PBA=∠PCA=a \)

     \(\arcsin\frac{7\sin(a)}{10}+\arcsin\frac{6\sin(a)}{10}=60^\circ\)

       可得 \(a=50.216988^\circ\)

     \(b=\sqrt{100-49\sin^2(a)}+7\cos(a)\)
     \(c=\sqrt{100-36\sin^2(a)}+6\cos(a)\)

     \(S=b*c*\sin60^\circ/2=71.0622\)

mathematica

王守恩 发表于 2020-3-13 10:52
在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

  设\(∠PBA=∠PCA= ...

PBA为什么等于PCA？

mathematica

王守恩 发表于 2020-3-13 10:52
在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内，PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

      设\(∠PBA= ...

说不出理由，我只能认为你在凑答案，
我记得上次你也在凑答案

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 243&fromuid=865
这个是你上次凑的答案！

王守恩

mathematica 发表于 2020-3-13 17:05
说不出理由，我只能认为你在凑答案，
我记得上次你也在凑答案

谢谢 mathematica！谢谢大家！
我肯定是在凑答案，先把答案凑出来，
然后想法去证明她，这是我解题的风格。
由 2 楼可知：3个顶角是 3 对相同的角，到主帖这里：
多了一个限制，就只能是 1 对相同的角与2对相同比的角。
对23#的解法，还是蛮好奇。60°,10,7,6改动一下，还是有效。

王守恩

题目一：P在△ABC内，∠BAC=60°，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角∠PBA=∠PCA=x，
\(\arcsin\frac{7\sin(x)}{⁡10}+\arcsin\frac{⁡6\sin⁡(x)}{10}=60^\circ\)
可得\( x=50.216988^\circ\)
\(b=\sqrt{10^2−(6\sin⁡(x))^2}+6\cos⁡(x)\)
\(c=\sqrt{10^2−(7\sin⁡(x))^2}+7\cos⁡(x)\)
\(S=b*c*\sin(60^\circ)/2=71.0622\)
在这里：10, 7, 6 不可以是任意数，
        arctan(7/10)+arctan(6/10) < ∠BAC 时无最大面积 S。

题目二：P在△ABC内，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角为 x，7 对应的角为 y，6 对应的角为 z，
\(\frac{\sin(y)}{\sin(x)}=\frac{7}{10}\ \ \ \ \frac{\sin(z)}{\sin(x)}=\frac{6}{10}\ \ \ \ x+y+z=90^\circ \)
可得\( x=40.2737^\circ\ \ \ y=26.9047^\circ\ \ \ z=22.8216^\circ\)
\(b=\frac{10\sin&#8289;(x+z)}{\sin(x)}\)
\(c=\frac{10\sin&#8289;(x+y)}{\sin(x)}\)
\(S=b*c*\sin(y+z)/2=75.0352\)
在这里：10, 7, 6 可以是任意数。