已知PA, PB, PC和∠A, 求△ABC的最大面积

mathematica

王守恩 发表于 2020-3-12 10:37
在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

详细写一下你的思路与过程！

mathematica

王守恩 发表于 2020-3-12 10:37
在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

写出你的具体分析过程，30°怎么来的
那个角度相加不是360度吗？为什么你是90度？

你要让大家相信，尤其是让我相信：你不是在凑答案！

王守恩

王守恩 发表于 2020-3-12 10:37
在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内，PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

      设\(∠PBA=∠PCA=a \)

     \(\arcsin\frac{7\sin(a)}{10}+\arcsin\frac{6\sin(a)}{10}=60^\circ\)

       可得 \(a=50.216988^\circ\)

     \(b=\sqrt{100-49\sin^2(a)}+7\cos(a)\)
     \(c=\sqrt{100-36\sin^2(a)}+6\cos(a)\)

     \(S=b*c*\sin60^\circ/2=71.0622\)

mathematica

王守恩 发表于 2020-3-13 10:52
在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

  设\(∠PBA=∠PCA= ...

PBA为什么等于PCA？

mathematica

王守恩 发表于 2020-3-13 10:52
在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内，PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

      设\(∠PBA= ...

说不出理由，我只能认为你在凑答案，
我记得上次你也在凑答案

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 243&fromuid=865
这个是你上次凑的答案！

王守恩

mathematica 发表于 2020-3-13 17:05
说不出理由，我只能认为你在凑答案，
我记得上次你也在凑答案

谢谢 mathematica！谢谢大家！
我肯定是在凑答案，先把答案凑出来，
然后想法去证明她，这是我解题的风格。
由 2 楼可知：3个顶角是 3 对相同的角，到主帖这里：
多了一个限制，就只能是 1 对相同的角与2对相同比的角。
对23#的解法，还是蛮好奇。60°,10,7,6改动一下，还是有效。

王守恩

题目一：P在△ABC内，∠BAC=60°，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角∠PBA=∠PCA=x，
\(\arcsin\frac{7\sin(x)}{⁡10}+\arcsin\frac{⁡6\sin⁡(x)}{10}=60^\circ\)
可得\( x=50.216988^\circ\)
\(b=\sqrt{10^2−(6\sin⁡(x))^2}+6\cos⁡(x)\)
\(c=\sqrt{10^2−(7\sin⁡(x))^2}+7\cos⁡(x)\)
\(S=b*c*\sin(60^\circ)/2=71.0622\)
在这里：10, 7, 6 不可以是任意数，
        arctan(7/10)+arctan(6/10) < ∠BAC 时无最大面积 S。

题目二：P在△ABC内，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角为 x，7 对应的角为 y，6 对应的角为 z，
\(\frac{\sin(y)}{\sin(x)}=\frac{7}{10}\ \ \ \ \frac{\sin(z)}{\sin(x)}=\frac{6}{10}\ \ \ \ x+y+z=90^\circ \)
可得\( x=40.2737^\circ\ \ \ y=26.9047^\circ\ \ \ z=22.8216^\circ\)
\(b=\frac{10\sin&#8289;(x+z)}{\sin(x)}\)
\(c=\frac{10\sin&#8289;(x+y)}{\sin(x)}\)
\(S=b*c*\sin(y+z)/2=75.0352\)
在这里：10, 7, 6 可以是任意数。




     

mathematica

王守恩 发表于 2020-3-14 06:55
题目一：P在△ABC内，∠BAC=60°，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角∠PBA=∠PCA ...

帮你解第一个方程，

1. Clear["Global`*"];
   
2. FullSimplify@Solve[
   
3.     {
   
4.         ArcSin[7/10*Sin[x]]+ArcSin[6/10*Sin[x]]==Pi/3,
   
5.         0<x<Pi/2,
   
6.         b==Sqrt[10^2-(6*Sin[x])^2]+6*Cos[x],
   
7.         c==Sqrt[10^2-(7*Sin[x])^2]+7*Cos[x],
   
8.         s==1/2*b*c*Sin[60Degree]
   
9.     },
   
10.     {x,b,c,s}
    
11. ]
    

复制代码

求解结果如下：
\[\left\{\left\{x\to \sin ^{-1}\left(5 \sqrt{\frac{3}{127}}\right),b\to \frac{4 \left(3 \sqrt{13}+25\right)}{\sqrt{127}},c\to \frac{14 \sqrt{13}+95}{\sqrt{127}},s\to \sqrt{3} \left(5 \sqrt{13}+23\right)\right\}\right\}\]
光看求解结果，看起来是对的，不过你得出来的值，似乎bc正好与别人的相反！
但是你需要说明你的思路，对了，最好配一张图说明你的思路，不然别人没办法理解！

王守恩

mathematica 发表于 2020-3-14 11:37
帮你解第一个方程，

谢谢 mathematica！
我儿子搞了个软件，对您的解答进行如下操作：复制代码——粘貼，
经反复核对，出来结果可以跟你是一样的！！！大家高兴极了！
说一下： “不过你得出来的值，似乎bc正好与别人的相反！”
原题是PA=10,PB=6,PC=7，我改一下：PA=10,PB=7,PC=6。

mathematica

王守恩 发表于 2020-3-14 14:38
谢谢 mathematica！
我儿子搞了个软件，对您的解答进行如下操作：复制代码——粘貼，
经反复核对，出来 ...

把你的思路好好总结一下，说清楚怎么思考的，再配上你的图