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数学研发论坛»论坛 › 【数学研究】 › 难题征解 › 已知PA, PB, PC和∠A, 求△ABC的最大面积
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楼主: 人教版高中

[求助] 已知PA, PB, PC和∠A, 求△ABC的最大面积

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mathematica
发表于 2020-3-14 11:37:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2020-3-14 12:08 编辑
王守恩 发表于 2020-3-14 06:55
题目一：P在△ABC内，∠BAC=60°，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角∠PBA=∠PCA ...


帮你解第一个方程，
  1. Clear["Global`*"];
  2. FullSimplify@Solve[
  3.     {
  4.         ArcSin[7/10*Sin[x]]+ArcSin[6/10*Sin[x]]==Pi/3,
  5.         0<x<Pi/2,
  6.         b==Sqrt[10^2-(6*Sin[x])^2]+6*Cos[x],
  7.         c==Sqrt[10^2-(7*Sin[x])^2]+7*Cos[x],
  8.         s==1/2*b*c*Sin[60Degree]
  9.     },
  10.     {x,b,c,s}
  11. ]
复制代码


求解结果如下：
\[\left\{\left\{x\to \sin ^{-1}\left(5 \sqrt{\frac{3}{127}}\right),b\to \frac{4 \left(3 \sqrt{13}+25\right)}{\sqrt{127}},c\to \frac{14 \sqrt{13}+95}{\sqrt{127}},s\to \sqrt{3} \left(5 \sqrt{13}+23\right)\right\}\right\}\]
光看求解结果，看起来是对的，不过你得出来的值，似乎bc正好与别人的相反！
但是你需要说明你的思路，对了，最好配一张图说明你的思路，不然别人没办法理解！

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参与人数 1威望 +12 金币 +12 贡献 +12 经验 +12 鲜花 +12 收起 理由
王守恩 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 很给力！再来1个！

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王守恩
发表于 2020-3-14 14:38:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-3-14 19:02 编辑
mathematica 发表于 2020-3-14 11:37
帮你解第一个方程，

谢谢 mathematica！
我儿子搞了个软件，对您的解答进行如下操作：复制代码——粘貼，
经反复核对，出来结果可以跟你是一样的！！！大家高兴极了！
说一下： “不过你得出来的值，似乎bc正好与别人的相反！”
原题是PA=10,PB=6,PC=7，我改一下：PA=10,PB=7,PC=6。
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mathematica
发表于 2020-3-15 10:22:44 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-3-14 14:38
谢谢 mathematica！
我儿子搞了个软件，对您的解答进行如下操作：复制代码——粘貼，
经反复核对，出来 ...

把你的思路好好总结一下，说清楚怎么思考的，再配上你的图

点评

王守恩
“Degree”，不是从您这里学的，“Degree”，我可是从2楼学的。  发表于 2020-3-15 15:16
王守恩
挺好的！“FullSimplify@Solve”，以前不知道这个”东东“。  发表于 2020-3-15 15:11
王守恩
能帮解第二个方程吗？因为这 2 道题的思路是相通的。  发表于 2020-3-15 11:17
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mathematica
发表于 2020-3-15 15:24:55 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-3-14 06:55
题目一：P在△ABC内，∠BAC=60°，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角∠PBA=∠PCA ...

第二个方程解是能求解出来，但是只是一个符号解，三次方程，
我要的是思路。

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王守恩
我很想知道第二个方程的答案与 2#的答案是不是一样的？  发表于 2020-3-15 15:36
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mathematica
发表于 2020-3-15 16:43:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2020-3-15 16:45 编辑
王守恩 发表于 2020-3-14 06:55
题目一：P在△ABC内，∠BAC=60°，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角∠PBA=∠PCA ...

  1. Clear["Global`*"];
  2. out=FullSimplify@Solve[
  3. {
  4.     Sin[y]/Sin[x]==7/10,
  5.     Sin[z]/Sin[x]==6/10,
  6.     x+y+z==Pi/2,
  7.     x>0&&y>0&&z>0,
  8.     b==10*Sin[x+z]/Sin[x],
  9.     c==10*Sin[x+y]/Sin[x],
  10.     s==b*c/2*Sin[y+z]
  11. },{x,y,z,b,c,s}
  12. ]
  13. aa={{x,y,z}/Pi*180,b,c,s}/.out
  14. N[aa,20]

复制代码


\[\begin{array}{c}
x\to \frac{1}{2} \left(4 \tan ^{-1}\left(\text{Root}\left[\text{$\#$1}^6-233 \text{$\#$1}^4-737 \text{$\#$1}^2+169\&,2\right]\right)+\pi \right) \\
y\to -2 \tan ^{-1}\left(\text{Root}\left[49 \text{$\#$1}^6-593 \text{$\#$1}^4+960 \text{$\#$1}^3-593 \text{$\#$1}^2+49\&,2\right]\right) \\
z\to -2 \tan ^{-1}\left(\text{Root}\left[9 \text{$\#$1}^6-158 \text{$\#$1}^4+280 \text{$\#$1}^3-158 \text{$\#$1}^2+9\&,2\right]\right) \\
b\to \text{Root}\left[\text{$\#$1}^6-223 \text{$\#$1}^4+5168 \text{$\#$1}^2+200704\&,4\right] \\
c\to \text{Root}\left[\text{$\#$1}^6-262 \text{$\#$1}^4+11473 \text{$\#$1}^2+93636\&,4\right] \\
s\to \text{Root}\left[16 \text{$\#$1}^6-88943 \text{$\#$1}^4-6446612 \text{$\#$1}^2+112529664\&,4\right] \\
\end{array}\]

数值结果
\[\left(
\begin{array}{cccc}
\{40.273683399254087544,26.904682266935048752,22.821634333810863704\} & 13.794959599929691540 & 14.258362821996512629 & 75.035175196416046619 \\
\end{array}
\right)\]

评分

参与人数 1威望 +4 金币 +4 贡献 +4 经验 +4 鲜花 +4 收起 理由
王守恩 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 P 是垂心。

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倪举鹏
发表于 2020-3-16 12:24:28 | 显示全部楼层
满足AB*sin(APC)/cos(PCA)=AC*sin(APB)/cos(PBA)的时候，可以得到最大或最小面积

评分

参与人数 1威望 +2 金币 +2 贡献 +2 经验 +2 鲜花 +2 收起 理由
王守恩 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 说到点子上了！！！

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mathematica
发表于 2020-3-30 12:18:58 | 显示全部楼层
  1. (*向大家求助一道三角题*)
  2. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-17176-1-1.html*)
  3. Clear["Global`*"];
  4. (*四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
  5. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
  6. (*海伦公式*)
  7. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
  8. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  9. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  10. ToRadicals@FullSimplify@Maximize[
  11.     {heron[a,b,c],
  12.      fun[10,6,7,a,b,c]==0&&
  13.      cs[b,c,a]==Cos[60Degree]&&
  14.      a>0&&b>0&&c>0
  15.     },{a,b,c}
  16. ]
复制代码


\[\left\{\sqrt{3} \left(5 \sqrt{13}+23\right),\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)},b\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)},c\to \frac{4 \left(3 \sqrt{13}+25\right)}{\sqrt{127}}\right\}\right\}\]

点评

dlpg070
如果把条件改为PA=12, PB=6,PC=7 结果如何?  发表于 2020-3-30 13:44
mathematica
借用九楼的思想，我代码写得更清晰容易明白！  发表于 2020-3-30 12:20
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mathematica
发表于 2020-3-30 14:15:15 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-3-30 12:18
\[\left\{\sqrt{3} \left(5 \sqrt{13}+23\right),\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{1 ...

如果把条件改为PA=12, PB=6,PC=7

那么结果是：
\[\left\{\frac{3}{2} \sqrt{57 \left(4 \sqrt{19}+23\right)},\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(1512 \sqrt{19}+14533\right)},b\to \sqrt{\frac{19}{127} \left(84 \sqrt{19}+733\right)},c\to 6 \sqrt{\frac{1}{127} \left(40 \sqrt{19}+419\right)}\right\}\right\}\]

数值结果是
{72.013, {a -> 12.8968, b -> 12.8234, c -> 12.969}}

点评

dlpg070
计算正确,此题条件的特点是: P点不在三角形ABC的内部, 不符合人教版高中原题要求  发表于 2020-3-30 15:51
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mathematica
发表于 2020-4-1 12:08:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2020-4-1 12:23 编辑
mathematica 发表于 2020-3-30 14:15
如果把条件改为PA=12, PB=6,PC=7

那么结果是：


如果是12  6  7
引用上面的代码
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  4. FullSimplify@Maximize[{1/2*Sin[60*Degree]*b*c,
  5.     (*∠BAP=∠1,∠CAP=∠2,∠BAC=60分别计算余弦值*)
  6.     c1==cs[c,12,6]&&
  7.     c2==cs[b,12,7]&&
  8.     1/2==cs[b,c,a]&&
  9.     (*同一个角的正弦与余弦的平方和等于1*)
  10.     c1^2+s1^2==1&&
  11.     c2^2+s2^2==1&&
  12.     (*∠BAC余弦的和差化积公式*)
  13.     1/2==c1*c2-s1*s2&&
  14.     (*变量都是正的*)
  15.     c1>0&&c2>0&&
  16.     s1>0&&s2>0&&
  17.     a>0&&b>0&&c>0
  18. },
  19. {a,b,c,c1,c2,s1,s2}
  20. ]
复制代码


求解结果
\[\left\{\frac{57 \sqrt{3}}{2}+3 \sqrt{57},\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(1512 \sqrt{19}+14533\right)},b\to \sqrt{\frac{19}{127} \left(84 \sqrt{19}+733\right)},c\to 6 \sqrt{\frac{1}{127} \left(40 \sqrt{19}+419\right)},\text{c1}\to \frac{10}{\sqrt{127}},\text{c2}\to \frac{19}{2 \sqrt{127}},\text{s1}\to 3 \sqrt{\frac{3}{127}},\text{s2}\to \frac{7 \sqrt{\frac{3}{127}}}{2}\right\}\right\}\]
数值化
{72.01295132,{a->12.89682107,b->12.82339235,c->12.96901652,c1->0.8873565094,c2->0.8429886839,s1->0.4610839676,s2->0.5379312956}}
  1. (*向大家求助一道三角题*)
  2. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-17176-1-1.html*)
  3. Clear["Global`*"];
  4. (*四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
  5. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
  6. (*海伦公式*)
  7. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
  8. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  9. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  10. ToRadicals@FullSimplify@Maximize[
  11.     {heron[a,b,c],
  12.      fun[12,6,7,a,b,c]==0&&
  13.      cs[b,c,a]==Cos[60Degree]&&
  14.      a>0&&b>0&&c>0
  15.     },{a,b,c}
  16. ]
复制代码


求解结果：
\[\left\{\frac{3}{2} \sqrt{57 \left(4 \sqrt{19}+23\right)},\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(1512 \sqrt{19}+14533\right)},b\to \sqrt{\frac{19}{127} \left(84 \sqrt{19}+733\right)},c\to 6 \sqrt{\frac{1}{127} \left(40 \sqrt{19}+419\right)}\right\}\right\}\]
数值化
{72.01295132,{a->12.89682107,b->12.82339235,c->12.96901652}}

从我CAD画的图上，确实落在了三角形外面。


QQ截图20200401122109.png
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mathematica
发表于 2020-4-1 12:50:44 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-4-1 12:08
如果是12  6  7
引用上面的代码

我推测在三角形内部的情况，可能没最值！
为什么呢？
看下面的代码
  1. (*向大家求助一道三角题*)
  2. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-17176-1-1.html*)
  3. Clear["Global`*"];
  4. (*四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
  5. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
  6. (*海伦公式*)
  7. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
  8. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  9. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  10. (*拉格朗日乘子法*)
  11. ff=heron[a,b,c]^2+x*(fun[10,6,7,a,b,c]^2)+y*(-a^2+b^2-b*c+c^2)
  12. ffa=D[ff,{a}]
  13. ffb=D[ff,{b}]
  14. ffc=D[ff,{c}]
  15. ffx=D[ff,{x}]
  16. ffy=D[ff,{y}]
  17. aaa={a,b,c,x,y}/.FullSimplify@Solve[{ffa==0&&ffb==0&&ffc==0&&ffx==0&&ffy==0},{a,b,c,x,y}]
  18. bbb=Select[aaa,And[#[[1]]>=0,#[[2]]>=0,#[[3]]>=0]&]
  19. ccc=Grid[N[bbb]]
复制代码


用拉格朗日乘子法求解最值。
\[\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & x & y \\
0 & 0 & 0 & x & -\frac{1}{3} (68 x) \\
-\sqrt{\frac{1}{43} \left(-5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4+1886 \text{$\#$1}^2+111843\&,2\right] & 8 \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4-14 \text{$\#$1}^2+43\&,3\right] & \frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(55 i \sqrt{2}-142\right) \\
\sqrt{\frac{1}{43} \left(-5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4+1886 \text{$\#$1}^2+111843\&,2\right] & 8 \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4-14 \text{$\#$1}^2+43\&,3\right] & \frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(55 i \sqrt{2}-142\right) \\
-\sqrt{\frac{1}{43} \left(-5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4+1886 \text{$\#$1}^2+111843\&,3\right] & -8 \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4-14 \text{$\#$1}^2+43\&,3\right] & \frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(55 i \sqrt{2}-142\right) \\
\sqrt{\frac{1}{43} \left(-5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4+1886 \text{$\#$1}^2+111843\&,3\right] & -8 \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4-14 \text{$\#$1}^2+43\&,3\right] & \frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(55 i \sqrt{2}-142\right) \\
-\sqrt{\frac{1}{43} \left(5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4+1886 \text{$\#$1}^2+111843\&,1\right] & 8 \sqrt{\frac{1}{43} \left(30 i \sqrt{2}+7\right)} & -\frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(-55 i \sqrt{2}-142\right) \\
\sqrt{\frac{1}{43} \left(5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4+1886 \text{$\#$1}^2+111843\&,1\right] & 8 \sqrt{\frac{1}{43} \left(30 i \sqrt{2}+7\right)} & -\frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(-55 i \sqrt{2}-142\right) \\
-\sqrt{\frac{1}{43} \left(5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \sqrt{\frac{1}{43} \left(1400 i \sqrt{2}-943\right)} & -8 \sqrt{\frac{1}{43} \left(30 i \sqrt{2}+7\right)} & -\frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(-55 i \sqrt{2}-142\right) \\
\sqrt{\frac{1}{43} \left(5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \sqrt{\frac{1}{43} \left(1400 i \sqrt{2}-943\right)} & -8 \sqrt{\frac{1}{43} \left(30 i \sqrt{2}+7\right)} & -\frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(-55 i \sqrt{2}-142\right) \\
0 & \text{Root}\left[16383 \text{$\#$1}^4+258921 \text{$\#$1}^2+1683409\&,2\right] & \text{Root}\left[16383 \text{$\#$1}^4-309621 \text{$\#$1}^2+1683409\&,2\right] & \frac{9 \left(-13 i \sqrt{3}-255\right)}{5461} & -\frac{4225 i \left(-10753 i+1105 \sqrt{3}\right)}{59645042} \\
0 & \text{Root}\left[16383 \text{$\#$1}^4+258921 \text{$\#$1}^2+1683409\&,3\right] & \sqrt{\frac{13 \left(23817-5339 i \sqrt{3}\right)}{32766}} & \frac{9 \left(-13 i \sqrt{3}-255\right)}{5461} & \frac{4225 \left(-1105 i \sqrt{3}-10753\right)}{59645042} \\
0 & \text{Root}\left[16383 \text{$\#$1}^4+258921 \text{$\#$1}^2+1683409\&,1\right] & \text{Root}\left[16383 \text{$\#$1}^4-309621 \text{$\#$1}^2+1683409\&,1\right] & \frac{9 \left(13 i \sqrt{3}-255\right)}{5461} & \frac{4225 i \left(10753 i+1105 \sqrt{3}\right)}{59645042} \\
0 & \sqrt{\frac{13 \left(9239 i \sqrt{3}-19917\right)}{32766}} & \sqrt{\frac{13 \left(5339 i \sqrt{3}+23817\right)}{32766}} & \frac{9 \left(13 i \sqrt{3}-255\right)}{5461} & \frac{4225 \left(1105 i \sqrt{3}-10753\right)}{59645042} \\
-\sqrt{\frac{1}{127} \left(11761-2520 \sqrt{13}\right)} & \text{Root}\left[127 \text{$\#$1}^4-23146 \text{$\#$1}^2+330327\&,2\right] & -4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(371-75 \sqrt{13}\right)} & -\frac{381}{280 \sqrt{13}} & \frac{215}{4 \sqrt{13}}-\frac{29}{4} \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(11761-2520 \sqrt{13}\right)} & \text{Root}\left[127 \text{$\#$1}^4-23146 \text{$\#$1}^2+330327\&,2\right] & -4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(371-75 \sqrt{13}\right)} & -\frac{381}{280 \sqrt{13}} & \frac{215}{4 \sqrt{13}}-\frac{29}{4} \\
-\sqrt{\frac{1}{127} \left(11761-2520 \sqrt{13}\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(11573-2660 \sqrt{13}\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(371-75 \sqrt{13}\right)} & -\frac{381}{280 \sqrt{13}} & \frac{215}{4 \sqrt{13}}-\frac{29}{4} \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(11761-2520 \sqrt{13}\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(11573-2660 \sqrt{13}\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(371-75 \sqrt{13}\right)} & -\frac{381}{280 \sqrt{13}} & \frac{215}{4 \sqrt{13}}-\frac{29}{4} \\
-\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} & \text{Root}\left[127 \text{$\#$1}^4-23146 \text{$\#$1}^2+330327\&,1\right] & -4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} & \frac{381}{280 \sqrt{13}} & -\frac{29}{4}-\frac{215}{4 \sqrt{13}} \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} & \text{Root}\left[127 \text{$\#$1}^4-23146 \text{$\#$1}^2+330327\&,1\right] & -4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} & \frac{381}{280 \sqrt{13}} & -\frac{29}{4}-\frac{215}{4 \sqrt{13}} \\
-\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} & \frac{381}{280 \sqrt{13}} & -\frac{29}{4}-\frac{215}{4 \sqrt{13}} \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} & \frac{381}{280 \sqrt{13}} & -\frac{29}{4}-\frac{215}{4 \sqrt{13}} \\
\end{array}
\right)\]

选出上面结果中，abc都是非负数的情况
\[\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & x & y \\
0 & 0 & 0 & x & -\frac{1}{3} (68 x) \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(11761-2520 \sqrt{13}\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(11573-2660 \sqrt{13}\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(371-75 \sqrt{13}\right)} & -\frac{381}{280 \sqrt{13}} & \frac{215}{4 \sqrt{13}}-\frac{29}{4} \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} & \frac{381}{280 \sqrt{13}} & -\frac{29}{4}-\frac{215}{4 \sqrt{13}} \\
\end{array}
\right)\]
数值化结果是

\[\begin{array}{ccccc}
0. & 0. & 0. & x & y \\
0. & 0. & 0. & x & -22.6667 x \\
4.58945 & 3.95071 & 5.03427 & -0.377394 & 7.65757 \\
12.8121 & 12.9091 & 12.7129 & 0.377394 & -22.1576 \\
\end{array}\]
很显然只有最后两个是极值点，
但是似乎这两个明显都不符合你的在三角形内部的要求！
所以我感觉似乎没最大值，就像y=x在开区间(1,2)没最大值一样，
但是我感觉有最值可能在边界上。

@hujunhua @chyanog 你们有没有好的办法？
我用十楼的办法求解不动
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 486&fromuid=865
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
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