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数学研发论坛»论坛 › 【数学研究】 › 难题征解 › 已知PA, PB, PC和∠A, 求△ABC的最大面积
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楼主: 人教版高中

[求助] 已知PA, PB, PC和∠A, 求△ABC的最大面积

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mathematica
发表于 2020-3-15 15:24:55 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-3-14 06:55
题目一：P在△ABC内，∠BAC=60°，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角∠PBA=∠PCA ...

第二个方程解是能求解出来，但是只是一个符号解，三次方程，
我要的是思路。

点评

王守恩
我很想知道第二个方程的答案与 2#的答案是不是一样的？  发表于 2020-3-15 15:36
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mathematica
发表于 2020-3-15 16:43:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2020-3-15 16:45 编辑
王守恩 发表于 2020-3-14 06:55
题目一：P在△ABC内，∠BAC=60°，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S。
记 10 对应的角∠PBA=∠PCA ...

  1. Clear["Global`*"];
  2. out=FullSimplify@Solve[
  3. {
  4.     Sin[y]/Sin[x]==7/10,
  5.     Sin[z]/Sin[x]==6/10,
  6.     x+y+z==Pi/2,
  7.     x>0&&y>0&&z>0,
  8.     b==10*Sin[x+z]/Sin[x],
  9.     c==10*Sin[x+y]/Sin[x],
  10.     s==b*c/2*Sin[y+z]
  11. },{x,y,z,b,c,s}
  12. ]
  13. aa={{x,y,z}/Pi*180,b,c,s}/.out
  14. N[aa,20]

复制代码


\[\begin{array}{c}
x\to \frac{1}{2} \left(4 \tan ^{-1}\left(\text{Root}\left[\text{$\#$1}^6-233 \text{$\#$1}^4-737 \text{$\#$1}^2+169\&,2\right]\right)+\pi \right) \\
y\to -2 \tan ^{-1}\left(\text{Root}\left[49 \text{$\#$1}^6-593 \text{$\#$1}^4+960 \text{$\#$1}^3-593 \text{$\#$1}^2+49\&,2\right]\right) \\
z\to -2 \tan ^{-1}\left(\text{Root}\left[9 \text{$\#$1}^6-158 \text{$\#$1}^4+280 \text{$\#$1}^3-158 \text{$\#$1}^2+9\&,2\right]\right) \\
b\to \text{Root}\left[\text{$\#$1}^6-223 \text{$\#$1}^4+5168 \text{$\#$1}^2+200704\&,4\right] \\
c\to \text{Root}\left[\text{$\#$1}^6-262 \text{$\#$1}^4+11473 \text{$\#$1}^2+93636\&,4\right] \\
s\to \text{Root}\left[16 \text{$\#$1}^6-88943 \text{$\#$1}^4-6446612 \text{$\#$1}^2+112529664\&,4\right] \\
\end{array}\]

数值结果
\[\left(
\begin{array}{cccc}
\{40.273683399254087544,26.904682266935048752,22.821634333810863704\} & 13.794959599929691540 & 14.258362821996512629 & 75.035175196416046619 \\
\end{array}
\right)\]

评分

参与人数 1威望 +4 金币 +4 贡献 +4 经验 +4 鲜花 +4 收起 理由
王守恩 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 P 是垂心。

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倪举鹏
发表于 2020-3-16 12:24:28 | 显示全部楼层
满足AB*sin(APC)/cos(PCA)=AC*sin(APB)/cos(PBA)的时候，可以得到最大或最小面积

评分

参与人数 1威望 +2 金币 +2 贡献 +2 经验 +2 鲜花 +2 收起 理由
王守恩 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 说到点子上了！！！

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mathematica
发表于 2020-3-30 12:18:58 | 显示全部楼层
  1. (*向大家求助一道三角题*)
  2. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-17176-1-1.html*)
  3. Clear["Global`*"];
  4. (*四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
  5. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
  6. (*海伦公式*)
  7. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
  8. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  9. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  10. ToRadicals@FullSimplify@Maximize[
  11.     {heron[a,b,c],
  12.      fun[10,6,7,a,b,c]==0&&
  13.      cs[b,c,a]==Cos[60Degree]&&
  14.      a>0&&b>0&&c>0
  15.     },{a,b,c}
  16. ]
复制代码


\[\left\{\sqrt{3} \left(5 \sqrt{13}+23\right),\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)},b\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)},c\to \frac{4 \left(3 \sqrt{13}+25\right)}{\sqrt{127}}\right\}\right\}\]

点评

dlpg070
如果把条件改为PA=12, PB=6,PC=7 结果如何?  发表于 2020-3-30 13:44
mathematica
借用九楼的思想，我代码写得更清晰容易明白！  发表于 2020-3-30 12:20
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mathematica
发表于 2020-3-30 14:15:15 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-3-30 12:18
\[\left\{\sqrt{3} \left(5 \sqrt{13}+23\right),\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{1 ...

如果把条件改为PA=12, PB=6,PC=7

那么结果是：
\[\left\{\frac{3}{2} \sqrt{57 \left(4 \sqrt{19}+23\right)},\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(1512 \sqrt{19}+14533\right)},b\to \sqrt{\frac{19}{127} \left(84 \sqrt{19}+733\right)},c\to 6 \sqrt{\frac{1}{127} \left(40 \sqrt{19}+419\right)}\right\}\right\}\]

数值结果是
{72.013, {a -> 12.8968, b -> 12.8234, c -> 12.969}}

点评

dlpg070
计算正确,此题条件的特点是: P点不在三角形ABC的内部, 不符合人教版高中原题要求  发表于 2020-3-30 15:51
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mathematica
发表于 2020-4-1 12:08:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2020-4-1 12:23 编辑
mathematica 发表于 2020-3-30 14:15
如果把条件改为PA=12, PB=6,PC=7

那么结果是：


如果是12  6  7
引用上面的代码
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  4. FullSimplify@Maximize[{1/2*Sin[60*Degree]*b*c,
  5.     (*∠BAP=∠1,∠CAP=∠2,∠BAC=60分别计算余弦值*)
  6.     c1==cs[c,12,6]&&
  7.     c2==cs[b,12,7]&&
  8.     1/2==cs[b,c,a]&&
  9.     (*同一个角的正弦与余弦的平方和等于1*)
  10.     c1^2+s1^2==1&&
  11.     c2^2+s2^2==1&&
  12.     (*∠BAC余弦的和差化积公式*)
  13.     1/2==c1*c2-s1*s2&&
  14.     (*变量都是正的*)
  15.     c1>0&&c2>0&&
  16.     s1>0&&s2>0&&
  17.     a>0&&b>0&&c>0
  18. },
  19. {a,b,c,c1,c2,s1,s2}
  20. ]
复制代码


求解结果
\[\left\{\frac{57 \sqrt{3}}{2}+3 \sqrt{57},\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(1512 \sqrt{19}+14533\right)},b\to \sqrt{\frac{19}{127} \left(84 \sqrt{19}+733\right)},c\to 6 \sqrt{\frac{1}{127} \left(40 \sqrt{19}+419\right)},\text{c1}\to \frac{10}{\sqrt{127}},\text{c2}\to \frac{19}{2 \sqrt{127}},\text{s1}\to 3 \sqrt{\frac{3}{127}},\text{s2}\to \frac{7 \sqrt{\frac{3}{127}}}{2}\right\}\right\}\]
数值化
{72.01295132,{a->12.89682107,b->12.82339235,c->12.96901652,c1->0.8873565094,c2->0.8429886839,s1->0.4610839676,s2->0.5379312956}}
  1. (*向大家求助一道三角题*)
  2. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-17176-1-1.html*)
  3. Clear["Global`*"];
  4. (*四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
  5. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
  6. (*海伦公式*)
  7. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
  8. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  9. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  10. ToRadicals@FullSimplify@Maximize[
  11.     {heron[a,b,c],
  12.      fun[12,6,7,a,b,c]==0&&
  13.      cs[b,c,a]==Cos[60Degree]&&
  14.      a>0&&b>0&&c>0
  15.     },{a,b,c}
  16. ]
复制代码


求解结果：
\[\left\{\frac{3}{2} \sqrt{57 \left(4 \sqrt{19}+23\right)},\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(1512 \sqrt{19}+14533\right)},b\to \sqrt{\frac{19}{127} \left(84 \sqrt{19}+733\right)},c\to 6 \sqrt{\frac{1}{127} \left(40 \sqrt{19}+419\right)}\right\}\right\}\]
数值化
{72.01295132,{a->12.89682107,b->12.82339235,c->12.96901652}}

从我CAD画的图上，确实落在了三角形外面。


QQ截图20200401122109.png
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mathematica
发表于 2020-4-1 12:50:44 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-4-1 12:08
如果是12  6  7
引用上面的代码

我推测在三角形内部的情况，可能没最值！
为什么呢？
看下面的代码
  1. (*向大家求助一道三角题*)
  2. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-17176-1-1.html*)
  3. Clear["Global`*"];
  4. (*四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
  5. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
  6. (*海伦公式*)
  7. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
  8. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  9. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  10. (*拉格朗日乘子法*)
  11. ff=heron[a,b,c]^2+x*(fun[10,6,7,a,b,c]^2)+y*(-a^2+b^2-b*c+c^2)
  12. ffa=D[ff,{a}]
  13. ffb=D[ff,{b}]
  14. ffc=D[ff,{c}]
  15. ffx=D[ff,{x}]
  16. ffy=D[ff,{y}]
  17. aaa={a,b,c,x,y}/.FullSimplify@Solve[{ffa==0&&ffb==0&&ffc==0&&ffx==0&&ffy==0},{a,b,c,x,y}]
  18. bbb=Select[aaa,And[#[[1]]>=0,#[[2]]>=0,#[[3]]>=0]&]
  19. ccc=Grid[N[bbb]]
复制代码


用拉格朗日乘子法求解最值。
\[\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & x & y \\
0 & 0 & 0 & x & -\frac{1}{3} (68 x) \\
-\sqrt{\frac{1}{43} \left(-5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4+1886 \text{$\#$1}^2+111843\&,2\right] & 8 \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4-14 \text{$\#$1}^2+43\&,3\right] & \frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(55 i \sqrt{2}-142\right) \\
\sqrt{\frac{1}{43} \left(-5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4+1886 \text{$\#$1}^2+111843\&,2\right] & 8 \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4-14 \text{$\#$1}^2+43\&,3\right] & \frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(55 i \sqrt{2}-142\right) \\
-\sqrt{\frac{1}{43} \left(-5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4+1886 \text{$\#$1}^2+111843\&,3\right] & -8 \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4-14 \text{$\#$1}^2+43\&,3\right] & \frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(55 i \sqrt{2}-142\right) \\
\sqrt{\frac{1}{43} \left(-5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4+1886 \text{$\#$1}^2+111843\&,3\right] & -8 \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4-14 \text{$\#$1}^2+43\&,3\right] & \frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(55 i \sqrt{2}-142\right) \\
-\sqrt{\frac{1}{43} \left(5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4+1886 \text{$\#$1}^2+111843\&,1\right] & 8 \sqrt{\frac{1}{43} \left(30 i \sqrt{2}+7\right)} & -\frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(-55 i \sqrt{2}-142\right) \\
\sqrt{\frac{1}{43} \left(5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \text{Root}\left[43 \text{$\#$1}^4+1886 \text{$\#$1}^2+111843\&,1\right] & 8 \sqrt{\frac{1}{43} \left(30 i \sqrt{2}+7\right)} & -\frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(-55 i \sqrt{2}-142\right) \\
-\sqrt{\frac{1}{43} \left(5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \sqrt{\frac{1}{43} \left(1400 i \sqrt{2}-943\right)} & -8 \sqrt{\frac{1}{43} \left(30 i \sqrt{2}+7\right)} & -\frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(-55 i \sqrt{2}-142\right) \\
\sqrt{\frac{1}{43} \left(5040 i \sqrt{2}-839\right)} & \sqrt{\frac{1}{43} \left(1400 i \sqrt{2}-943\right)} & -8 \sqrt{\frac{1}{43} \left(30 i \sqrt{2}+7\right)} & -\frac{129 i}{560 \sqrt{2}} & \frac{1}{8} \left(-55 i \sqrt{2}-142\right) \\
0 & \text{Root}\left[16383 \text{$\#$1}^4+258921 \text{$\#$1}^2+1683409\&,2\right] & \text{Root}\left[16383 \text{$\#$1}^4-309621 \text{$\#$1}^2+1683409\&,2\right] & \frac{9 \left(-13 i \sqrt{3}-255\right)}{5461} & -\frac{4225 i \left(-10753 i+1105 \sqrt{3}\right)}{59645042} \\
0 & \text{Root}\left[16383 \text{$\#$1}^4+258921 \text{$\#$1}^2+1683409\&,3\right] & \sqrt{\frac{13 \left(23817-5339 i \sqrt{3}\right)}{32766}} & \frac{9 \left(-13 i \sqrt{3}-255\right)}{5461} & \frac{4225 \left(-1105 i \sqrt{3}-10753\right)}{59645042} \\
0 & \text{Root}\left[16383 \text{$\#$1}^4+258921 \text{$\#$1}^2+1683409\&,1\right] & \text{Root}\left[16383 \text{$\#$1}^4-309621 \text{$\#$1}^2+1683409\&,1\right] & \frac{9 \left(13 i \sqrt{3}-255\right)}{5461} & \frac{4225 i \left(10753 i+1105 \sqrt{3}\right)}{59645042} \\
0 & \sqrt{\frac{13 \left(9239 i \sqrt{3}-19917\right)}{32766}} & \sqrt{\frac{13 \left(5339 i \sqrt{3}+23817\right)}{32766}} & \frac{9 \left(13 i \sqrt{3}-255\right)}{5461} & \frac{4225 \left(1105 i \sqrt{3}-10753\right)}{59645042} \\
-\sqrt{\frac{1}{127} \left(11761-2520 \sqrt{13}\right)} & \text{Root}\left[127 \text{$\#$1}^4-23146 \text{$\#$1}^2+330327\&,2\right] & -4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(371-75 \sqrt{13}\right)} & -\frac{381}{280 \sqrt{13}} & \frac{215}{4 \sqrt{13}}-\frac{29}{4} \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(11761-2520 \sqrt{13}\right)} & \text{Root}\left[127 \text{$\#$1}^4-23146 \text{$\#$1}^2+330327\&,2\right] & -4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(371-75 \sqrt{13}\right)} & -\frac{381}{280 \sqrt{13}} & \frac{215}{4 \sqrt{13}}-\frac{29}{4} \\
-\sqrt{\frac{1}{127} \left(11761-2520 \sqrt{13}\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(11573-2660 \sqrt{13}\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(371-75 \sqrt{13}\right)} & -\frac{381}{280 \sqrt{13}} & \frac{215}{4 \sqrt{13}}-\frac{29}{4} \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(11761-2520 \sqrt{13}\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(11573-2660 \sqrt{13}\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(371-75 \sqrt{13}\right)} & -\frac{381}{280 \sqrt{13}} & \frac{215}{4 \sqrt{13}}-\frac{29}{4} \\
-\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} & \text{Root}\left[127 \text{$\#$1}^4-23146 \text{$\#$1}^2+330327\&,1\right] & -4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} & \frac{381}{280 \sqrt{13}} & -\frac{29}{4}-\frac{215}{4 \sqrt{13}} \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} & \text{Root}\left[127 \text{$\#$1}^4-23146 \text{$\#$1}^2+330327\&,1\right] & -4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} & \frac{381}{280 \sqrt{13}} & -\frac{29}{4}-\frac{215}{4 \sqrt{13}} \\
-\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} & \frac{381}{280 \sqrt{13}} & -\frac{29}{4}-\frac{215}{4 \sqrt{13}} \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} & \frac{381}{280 \sqrt{13}} & -\frac{29}{4}-\frac{215}{4 \sqrt{13}} \\
\end{array}
\right)\]

选出上面结果中，abc都是非负数的情况
\[\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & x & y \\
0 & 0 & 0 & x & -\frac{1}{3} (68 x) \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(11761-2520 \sqrt{13}\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(11573-2660 \sqrt{13}\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(371-75 \sqrt{13}\right)} & -\frac{381}{280 \sqrt{13}} & \frac{215}{4 \sqrt{13}}-\frac{29}{4} \\
\sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)} & \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)} & 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)} & \frac{381}{280 \sqrt{13}} & -\frac{29}{4}-\frac{215}{4 \sqrt{13}} \\
\end{array}
\right)\]
数值化结果是

\[\begin{array}{ccccc}
0. & 0. & 0. & x & y \\
0. & 0. & 0. & x & -22.6667 x \\
4.58945 & 3.95071 & 5.03427 & -0.377394 & 7.65757 \\
12.8121 & 12.9091 & 12.7129 & 0.377394 & -22.1576 \\
\end{array}\]
很显然只有最后两个是极值点，
但是似乎这两个明显都不符合你的在三角形内部的要求！
所以我感觉似乎没最大值，就像y=x在开区间(1,2)没最大值一样，
但是我感觉有最值可能在边界上。

@hujunhua @chyanog 你们有没有好的办法？
我用十楼的办法求解不动
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 486&fromuid=865
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mathematica
发表于 2020-4-1 13:33:56 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-4-1 12:50
我推测在三角形内部的情况，可能没最值！
为什么呢？
看下面的代码
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*用解析几何的办法求解，A(0,0),B(xb,0),C(xc,Sqrt[3]*xc),
  3. 利用矢量积大于零，让P点位于三角形ABC内部*)
  4. Maximize[
  5.     {(xb*Sqrt[3]*xc)/2,
  6.         xb>0&&
  7.         xc>0&&
  8.         (*矢量积大于等于零*)
  9.         Det[{{xb-xp,0-yp},{xc-xp,Sqrt[3]*xc-yp}}]>=0&&
  10.         Det[{{xc-xp,Sqrt[3]*xc-yp},{0-xp,0-yp}}]>=0&&
  11.         (*PA PB PC三个线段的长度*)
  12.         (0-xp)^2+(0-yp)^2==12^2&&
  13.         (xb-xp)^2+(0-yp)^2==6^2&&
  14.         (xc-xp)^2+(Sqrt[3]*xc-yp)^2==7^2&&
  15.         xp>0&&yp>0
  16.     },{xb,xc,xp,yp}
  17. ]
复制代码


求解结果
\[\{-\infty ,\{\text{xb}\to \text{Indeterminate},\text{xc}\to \text{Indeterminate},\text{xp}\to \text{Indeterminate},\text{yp}\to \text{Indeterminate}\}\}\]

尝试用解析几何的办法求解，但是解不出来。这个结果明显错误

点评

dlpg070
不是软件bug,在"三角形面积最大的驻点条件"中对最大值存在条件给出了判别公式,我的修改条件是预先判定P在三角形外部.再给一例: PA=14,PB=6,PC=7,试试计算结果,预测:报错或死机  发表于 2020-4-1 15:13
mathematica
这个应该是软件的bug  发表于 2020-4-1 13:45
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mathematica
发表于 2020-4-1 16:46:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2020-4-1 17:14 编辑

@dlpg070
我觉得你很可能问了一个烂问题：
因为PA=12, PB=6,PC=7 这个与角BAC=60度以及P点在三角形内部很可能不兼容，
我假设BPC在一条直线上，然后建立直角坐标系，
利用假设P为圆心（原点），B(-6,0),C(7,0) A(x,y)
然后计算角BAC的最大值，

代码如下：
  1. Clear["Global`*"];
  2. k1=(y-0)/(x-7)
  3. k2=(y-0)/(x-(-6))
  4. ang=ArcTan[(k1-k2)/(1+k1*k2)]*180/Pi//FullSimplify
  5. Maximize[
  6.     {ang,
  7.     x^2+y^2==12^2
  8.     },{x,y}
  9. ]//FullSimplify
  10. N[%,10]
复制代码

运算结果如下：
\[\frac{180 \tan ^{-1}\left(\frac{13 y}{(x-1) x+y^2-42}\right)}{\pi }\]
\[\left\{\frac{180 \tan ^{-1}\left(\frac{26}{\sqrt{285}}\right)}{\pi },\left\{x\to \frac{24}{17},y\to \frac{12 \sqrt{285}}{17}\right\}\right\}\]
数值化的结果是
{57.00411453,{x->1.411764706,y->11.91666566}}

点评

dlpg070
对不起,浪费了你的宝贵时间,忘了: BAC=60 b=6,c=7 amax=Sqrt[127]= 11.269 0< a < Sqrt[127] P点在三角形内部 避免出题人出烂题,答题人瞎猜  发表于 2020-4-1 17:50
dlpg070
看看我画的图片,我和你一样,"假设BPC在一条直线上"  发表于 2020-4-1 17:32
mathematica
@dlpg070 是的，问题很烂，花费我很多时间去解决这个问题，最后发现这个问题是错误的问题，怎么能不烂？  发表于 2020-4-1 17:24
dlpg070
你的分析有点道理,减小BAC则可以使P点回归三角形内部,我已经举例说明 但我的问题是对应人教版高中原题的,深入讨论,给想讨论P点在三角形外的人一个真实的例子,烂?  发表于 2020-4-1 17:21
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mathematica
发表于 2020-4-1 17:08:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2020-4-2 14:12 编辑
mathematica 发表于 2020-4-1 16:46
@dlpg070
我觉得你很可能问了一个烂问题：
因为PA=12, PB=6,PC=7 这个与角BAC=60度很可能不兼容，

  1. Clear["Global`*"];
  2. (*定义余弦定理*)
  3. fun[a_,b_,x_]:=a^2+b^2-2*a*b*Cos[x]
  4. NMaximize[
  5.     {(m+n)*180/Pi,
  6.     (*两次余弦定理*)
  7.     c^2==fun[6,12,x]&&
  8.     b^2==fun[7,12,y]&&
  9.     (*两次正弦定理*)
  10.     Sin[m]/6==Sin[m+x]/12&&
  11.     Sin[n]/7==Sin[n+y]/12&&
  12.     (*确保PA在BC的同一侧*)
  13.     x+y>=Pi&&
  14.     (*变量都是正的*)
  15.     b>0&&c>0&&
  16.     x>0&&y>0&&
  17.     m>0&&n>0&&
  18.     (*下面两个角肯定是锐角*)
  19.     m<Pi/2&&
  20.     n<Pi/2
  21.     },{m,n,x,y,b,c}
  22. ]
复制代码


结果
{57.0041,{m->0.438495,n->0.556415,x->1.68872,y->1.45288,b->13.1619,c->14.0336}}

这个证明了，如果在三角形内部，并且（PA=12, PB=6,PC=7），那么三角形的∠BAC最多只能57.0041°，
与你给出的条件不兼容！

20200402_141029
代码有些多余，我重新写一下，去掉无意义的约束
  1. Clear["Global`*"];
  2. PA=12
  3. PB=6
  4. PC=7
  5. ans=NMaximize[
  6.     {(m+n)*180/Pi,
  7.     (*两次正弦定理*)
  8.     Sin[m]/PB==Sin[(m+x)]/PA&&
  9.     Sin[n]/PC==Sin[(n+y)]/PA&&
  10.     (*确保PA在BC的同一侧*)
  11.     x+y>=Pi&&
  12.     (*变量都是正的*)
  13.     m>0&&n>0&&
  14.     x>0&&y>0&&
  15.     (*下面两个角肯定是锐角*)
  16.     m<Pi/2&&n<Pi/2&&
  17.     (*三角形的两个内角的内角和小于180°*)
  18.     m+x<Pi&&
  19.     n+y<Pi
  20.     },{m,n,x,y},AccuracyGoal->40,PrecisionGoal->40,WorkingPrecision->60,MaxIterations->500
  21. ]
  22. ({m,n,x,y}*180/Pi//FullSimplify)/.ans[[2]]
复制代码


{57.0041145264204657483940831206175197681178927577708301044938,
{m->0.438494666822357262610464017215487878275269599701045066710360,
n->0.556414818847608020146346746834357533312866699730683425933888,
x->1.68871647882014921302762698672747330201041702143966334860680,
y->1.45287617476964402543501639655214091658141801661231101425961}}

换算成角度制，就是
{25.1238937479162753228875163525255922888958260225872862061488,
31.8802207785041904255065667680919274792220667351835438983450,
96.7563270305880203125913503260420666053239853565487780937894,
83.2436729694119796874086496739643123856049995655833936028957}
后两个角度相加等于180°

点评

mathematica
不要胡说八道！没有计算错误，你自己好好看看，是你自己搞错了！  发表于 2020-4-2 14:14
dlpg070
思路很好,可惜数据错了,误差不大,约 0.0765度,画图看看  发表于 2020-4-2 09:16
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