已知PA, PB, PC和∠A, 求△ABC的最大面积

wayne

你厉害, 我还花了不少时间敲矩阵的元素,  生怕错乱了字母顺序. 结果还是错了一个细节.

mathematica

chyanog 发表于 2020-3-8 16:13
和wayne的方法类似，结果也一样，只不过用面积关系代替了行列式，计算速度慢一些

有个小漏洞，p点有可能在三角形ABC外面，如何排除这个情况？

人教版高中

谢谢大家的回复~真是涨知识了。这么看来这题是不能用手算解出来的是吗？

chyanog

人教版高中 发表于 2020-3-10 07:30
谢谢大家的回复~真是涨知识了。这么看来这题是不能用手算解出来的是吗？

别的群友发的链接：共点三定长线段构成60°角三角形面积最大值
https://mp.weixin.qq.com/s/ycvPgDu3AxbVmBw8g_jtzg

人教版高中

chyanog 发表于 2020-3-10 10:02
别的群友发的链接：共点三定长线段构成60°角三角形面积最大值
https://mp.weixin.qq.com/s/ycvPgDu3A ...

太感谢您了 没想到这道题这么复杂

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. FullSimplify@Maximize[{1/2*Sin[60*Degree]*b*c,
   
5.     (*∠BAP=∠1,∠CAP=∠2,∠BAC=60分别计算余弦值*)
   
6.     c1==cs[c,10,6]&&
   
7.     c2==cs[b,10,7]&&
   
8.     1/2==cs[b,c,a]&&
   
9.     (*同一个角的正弦与余弦的平方和等于1*)
   
10.     c1^2+s1^2==1&&
    
11.     c2^2+s2^2==1&&
    
12.     (*∠BAC余弦的和差化积公式*)
    
13.     1/2==c1*c2-s1*s2&&
    
14.     (*变量都是正的*)
    
15.     c1>0&&c2>0&&
    
16.     s1>0&&s2>0&&
    
17.     a>0&&b>0&&c>0
    
18. },
    
19. {a,b,c,c1,c2,s1,s2}
    
20. ]
    

复制代码

思路都写在注释里面,很简单,很容易明白!
\[\left\{\sqrt{3} \left(5 \sqrt{13}+23\right),\left\{a\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(2520 \sqrt{13}+11761\right)},b\to \sqrt{\frac{1}{127} \left(2660 \sqrt{13}+11573\right)},c\to 4 \sqrt{\frac{2}{127} \left(75 \sqrt{13}+371\right)},\text{c1}\to \frac{10}{\sqrt{127}},\text{c2}\to \frac{19}{2 \sqrt{127}},\text{s1}\to 3 \sqrt{\frac{3}{127}},\text{s2}\to \frac{7 \sqrt{\frac{3}{127}}}{2}\right\}\right\}\]

数值是
{71.0622,{a->12.8121,b->12.9091,c->12.7129,c1->0.887357,c2->0.842989,s1->0.461084,s2->0.537931}}

王守恩

wayne 发表于 2020-3-8 15:15
好吧,如果60°硬要加进来,也是可以做的.
已知六条边长,根据余弦定理 和Cayley—Menger 行列式计算四面体体 ...

S=b*c*sin(60°)/2
S^2=b^2*c^2*3/16
b^2=10^2+7^2+2*10*7*cos(30°+a+arcsin(10sin(30°+a)/7))
c^2=10^2+6^2+2*10*6*cos(30° -a+arcsin(10sin(30° -a)/6))
其中：a 由方程 sin(30°-a)/sin(30°+a)=6/7 解得 a=2.5429239°

兼得： sin∠PCB/sin∠PBC=6/7     ∠PCA=∠PBA

又：arctan(6/10)+arctan(7/10) ≤ ∠BAC 时无解。

王守恩

wayne 发表于 2020-3-8 10:09
∠BAC=60° 是多余的吧.  问题就是 $PA=a,PB=b,PC=c$,求$1/2bcsinx+1/2acsiny+1/2ab sinz$ 在$x+y+z=2\pi$ ...

P在△ABC内。PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC的最大面积 S 。

我们记10对应的边为a，7对应的边为b，6对应的边为c，
      记10对应的角为x，7对应的角为y，6对应的角为z，
由 sin(x):sin(y):sin(z)=10:7:6，x+y+z=90°  解得 {x,y,z}
x -> 40.2737, y -> 26.9047, z -> 22.8216
a^2=07^2+06^2+2*07*06*cos(y+z)
b^2=06^2+10^2+2*06*10*cos(z+x)
c^2=10^2+07^2+2*10*07*cos(x+y)
S=a*b*sin(x+y)/2=b*c*sin(y+z)/2=c*a*sin(z+x)/2=75.0352

王守恩

人教版高中 发表于 2020-3-10 07:30
谢谢大家的回复~真是涨知识了。这么看来这题是不能用手算解出来的是吗？

在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。



     设\(∠PAB=30^\circ-a，∠PAC=30^\circ+a \)

     由方程 \(\D\frac{\sin(30^\circ-a)}{sin(30^\circ+a)}=\frac{6}{7}\)   可得 \(a=2.5429239^\circ\)
     由正弦定理
     \(b=\sqrt{49-100\sin^2(30^\circ+a)}+10\cos(30^\circ+a)\)
     \(c=\sqrt{36-100\sin^2(30^\circ-a)}+10\cos(30^\circ-a)\)

     \(S=b*c*\sin60^\circ/2=71.0622\)

mathematica

王守恩 发表于 2020-3-12 10:37
在△ABC中，∠BAC=60°，P在△ABC内。PA=10，PB=6，PC=7， 求△ABC的最大面积 S。

请问你的
\[\D\frac{\sin(30^\circ-a)}{sin(30^\circ+a)}=\frac{6}{7}\]
这个表达式是怎么得到的？