【拟合迭代过程】
函数定义：
f0 := Hypergeometric2F1[-(1/2), -(1/2), 1, x^2]
f1 := a + b x + c x^2
初次拟合：
f1Param = Solve[Table[
Table, {x, 0.5, n}], {n, 0, 2}] ==
Table, {x, 0.5, n}], {n, 0, 2}]
, {i, 3}], {a, b, c}][]
修正拟合使定义域两端误差为零：
f1k = ((f0 - f0)/(f1 - f1)) /. f1Param
f1b = Mean[{f0 - f1k f1, f0 - f1k f1}] /. f1Param
f1 := Table.Table][], {i, 3}] f1k + f1b //Simplify
误差函数：
err1 := f0 - f1
Plot, {x, 0, 1},
PlotStyle -> Red,
Filling -> Axis,
GridLines -> Automatic,
Frame -> True,
PlotLabel -> "f1(x) 的拟合误差"]
误差函数的三个零点：
sol = FindRoot, {x, 0.5}]
x0s = {0, sol[][], 1}
Plot, {x, 0, 1},
PlotStyle -> Red,
Filling -> Axis,
Epilog -> {PointSize, Table], 0}], {i, Length}]},
GridLines -> Automatic,
Frame -> True,
PlotLabel -> "误差函数 err1(x) 的零点"]
零点间的极值点：
xms = {x /. FindRoot, x], {x, Mean]]}],
x /. FindRoot, x], {x, Mean]]}]}
yms = err1 /. x -> xms
Plot, {x, 0, 1},
PlotStyle -> Red,
Filling -> Axis,
Epilog -> {PointSize,
Table], yms[]}], {i, Length}]},
GridLines -> Automatic,
Frame -> True,
PlotLabel -> "误差函数 err1(x) 的极值点"]
拟合左侧的峰：
f2 := a + b x + c x^2
f2Param = Solve[Table[
Table, {x, xms[], n}], {n, 0, 2}] ==
Table, {x, xms[], n}], {n, 0, 2}]
, {i, 3}], {a, b, c}][]
Plot[{err1, f2 /. f2Param}, {x, 0, 1},
Filling -> {1 -> {2}},
GridLines -> Automatic,
PlotLegends -> "Expressions",
Frame -> True,
PlotLabel -> "拟合函数 f2(x)"]
窗函数：
fwin := E^-((x - m)/s)^2
(*计算窗函数参数 s 的公式，w 是相邻零点的宽度*)
winS := w/3
接下来是通过加窗函数逐个拟合误差函数的极值点……
代码改乱了，上个图看看加窗拟合的效果：
本帖最后由 Jack315 于 2023-9-11 07:54 编辑
迭代过程每次都拟合最大极值点的峰。
拟合的方法与 103# 相比作了改进：
保证极值点成为新的零点的条件下，最小化区间 两端点的误差平方和。
这样不至于因为不断的迭代而使这两个点的误差增加。
如果最终最大误差出现在区间端点，
则用一直线进行拟合，就可以把两个端点的误差重新拉回到零。
在迭代过程中这两点其实是伪零点，
将其作为零点处理，可以方便代码的设计。
这就是用加窗实现分段拟合的方法，
因此可以达到任意想要的拟合精度。
只是拟合函数的项数会特别多（有限项），
不似 LZ 的 \(\varphi(x)\) 函数那般精巧，有点“暴(xi)力(tong)”的感觉。
如果窗函数更方，而不再是这般油头滑脚的，
相信拟合会更精确、迭代能更快地达到所需的精度，
即更短的拟合函数项。
进行迭代的代码设计差不多了，还需要点时间进行调试。
另外也要使用更方的窗函数……希望这次能成功了。
elim 发表于 2023-9-9 23:28
还没适应本论坛的 MathJax 设置。所以贴个图：
然后呢？没下文啦？？？
笨笨 发表于 2023-9-11 20:44
然后呢？没下文啦？？？
笨笨可不是一般的笨，而是刻意不动脑子不学习不动手的笨．
@Jack315 :建议用切比雪夫理论一举得到支集区间上凸/凹函数\(\tau/\|\tau\|_{\infty}\)的最隹多项式一致通近(\(\|\;\|_{\infty}\le 10^{-5}\)).
这样综合起来的误差就控制在e-12.
elim 发表于 2023-9-12 00:12
笨笨可不是一般的笨，而是刻意不动脑子不学习不动手的笨．
@Jack315 :建议用切比雪夫理论一举得到支集 ...
感谢前辈指导。切比雪夫理论的思路挺不错的，回头试试。
笨笨笨得可爱，这个题搞明白了啥意思其实不难，正好练习下编程。
笨笨其实不笨，光看这补偿函数就不简单，只是思路不一样，会有天花板。
赠人玫瑰，手留余香:lol
elim 发表于 2023-9-12 00:12
笨笨可不是一般的笨，而是刻意不动脑子不学习不动手的笨．
@Jack315 :建议用切比雪夫理论一举得到支集 ...
前辈你好，按照这个思路走，可否给个具体实例来？？？？
我就纳闷了，对拉马努金公式再拟合，一个函数族且误差达到10^-12就不能搞定？？？
本帖最后由 Jack315 于 2023-9-14 09:55 编辑
笨笨 发表于 2023-9-13 22:01
前辈你好，按照这个思路走，可否给个具体实例来？？？？
拟合函数：\(\lambda_0+\lambda_1x+\lambda_2x^2\)
窗函数为：\(\frac{1}{2tan^{-1}(\frac{b-a}{2}k)}\big(tan^{-1}-tan^{-1}\big)\)
代码已初步实现，有两个方面的难点：
1. 精确计算误差函数的零点和极值点，难在零点的计算上。
2. 拟合中相关数据较多，需要进行数据组织。
这是最新的调试状态，设置的精度要求为 1E-4，纯手工迭代：
蓝色点为零点；红色点为极值点；
青色点为待拟合点；黄色点为加窗边界点。
注：代码中，定义域端点 同时作为零点和极值点处理。
这是编程的需要，不是数学上的含义。
从图上可以看到漏了一个零点，加窗出错了。
要不要我把代码发上来，让高人来调试？
俺是超级业余的，数学和编程都不专业，就是爱玩这个东东。
Jack315 发表于 2023-9-14 09:51
拟合函数：\(\lambda_0+\lambda_1x+\lambda_2x^2\)
窗函数为：\(\frac{1}{2tan^{-1}(\frac{b-a}{2}k)}\bi ...
代码不是楼主专业，若代码有疑问，请把代码发出来，看看路过的高手能不能解决一下？
本帖最后由 笨笨 于 2023-9-14 21:48 编辑
elim 发表于 2023-9-12 00:12
笨笨可不是一般的笨，而是刻意不动脑子不学习不动手的笨．
@Jack315 :建议用切比雪夫理论一举得到支集 ...
elim老师自己说的方案，可能自己都实现不了？或者只是一种猜想。每次回帖都是留下一句话，然后就没有然后了，要是能给个具体实例分析一下就好了。可惜了，出于尊重，楼主持保留意见。