本帖最后由 笨笨 于 2023-9-14 22:46 编辑
事实上，增加有限项根本提高不了精度，下面就是一个失败的案例
\(\large\mu= \frac{{{\rm{5905580032 - 1879201796}}\pi }}{{{\rm{64559}}\pi }}\)
\( F\left( x \right) - 1 - \frac{{3{x^2}}}{{10 + \sqrt {4 - 3{x^2}} }} - \frac{3}{{{2^{17}}}}{x^{10}} -\frac{{79}}{{{2^{21}}}}{x^{12}} -\frac{{1459}}{{{2^{25}}}}{x^{14}} - \frac{{5869}}{{{2^{27}}}}{x^{16}}\left[ {1 + \frac{{\left( {\frac{{{\rm{353055}}}}{{{\rm{375616}}}} + \left( {\mu- 1 - \frac{{{\rm{353055}}}}{{{\rm{375616}}}}} \right)x} \right){x^2}}}{{{{\left( {1 + {x^{{\rm{ - 3}}{\rm{.98356}}}}{{\left( {1 - {x^{15.98099}}} \right)}^{{\rm{0}}{\rm{.937338}}}}} \right)}^{{\rm{1}}{\rm{.016278}}}}}}} \right]\)
误差函数族界最小值：\(1.635594 \ldots\times {10^{ - 7}},x \to 0.9297993309 \ldots \)
本帖最后由 Jack315 于 2023-9-15 17:55 编辑
笨笨 发表于 2023-9-14 21:42
代码不是楼主专业，若代码有疑问，请把代码发出来，看看路过的高手能不能解决一下？ ...
敢问 LZ 是什么专业:lol 。言归正传……
计算误差函数数据的代码：
计算误差函数数据[误差函数_] := Module[
(*=======================================================*)
(*输入参数：*)
(*误差函数=目标函数-\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\\), \(i = 1\), \(n\)]\(
\(\*SubscriptBox[\(拟合函数\), \(i\)]\)[x,
\*SubscriptBox[\(拟合参数\), \(i\)]]\)\)。*)
(*输出数据：
{{
极值间低点{Subscript,Subscript,...,Subscript},
所有极值点{{Subscript,Subscript},{Subscript,Subscript[
y, 2]},...,{Subscript,Subscript}},
极值范围{min,max},极值数量 n,
最大极值点{x,y},
待拟合点{Subscript,Subscript},
待拟合点两侧低点{lef,right},
加窗(T/F)
}}
*)
(*-------------------------------------------------------*)
{位置,
所有极值点X, 所有极值点Y, 极值范围, 极值数量,
最大极值点X, 最大极值点Y,
高度, 极值间低点, 低点分类,
待拟合点X, 待拟合点Y,
待拟合点两侧低点, 加窗
}(*end local variables*),
(*=======================================================*)
(*=======================================================*)
(*代码体*)
(*=======================================================*)
(*-------------------------------------------------------*)
(*计算 误差函数 的极值点。*)
(*-------------------------------------------------------*)
所有极值点X = x /. NSolve[{D[误差函数, x] == 0, 0 <= x <= 1}, x];
(*确定极值间低点的高度：不能包含任何极值点。*)
(*可能存在的问题：极值点比极值间低点离 X 轴更近*)
高度 = 0.95 Min]];
位置 = Length[所有极值点X];
(*将边界点 x=0 和 x=1 当作极值点处理*)
If[位置 == 0 || 所有极值点X[] != 0, PrependTo[所有极值点X, 0]];
If[位置 == 0 || 所有极值点X[[位置]] != 1, AppendTo[所有极值点X, 1]];
所有极值点Y = N[误差函数[所有极值点X]];
(*-------------------------------------------------------*)
(*极值点数据统计。*)
极值范围 = {Min], Max]};
极值数量 = Length[所有极值点X];
(*-------------------------------------------------------*)
(*计算 |极值| 最大的点。*)
最大极值点Y = 极值范围[];
最大极值点X = Part[所有极值点X, Part, 最大极值点Y], 1, 1]];
(*-------------------------------------------------------*)
(*确定待拟合点数据。*)
待拟合点X = 最大极值点X;
待拟合点Y = N[误差函数[待拟合点X]];
(*=======================================================*)
(*-------------------------------------------------------*)
(*计算 |误差函数| 在相邻极值点区间内的低点。*)
(*-------------------------------------------------------*)
(*计算方程 误差函数 \ 0\高度 的解。*)
极值间低点 = NSolve[{误差函数^2 == 高度^2, 0 <= x <= 1}, x];
If == 0,
(*极值间不含任何低点。*)
极值间低点 = {};
待拟合点两侧低点 = {0, 1};
加窗 = False,
(*-------------------------------------------------------*)
(*极值间至少含有一个低点。*)
(*以极值点的 x 坐标做为分界线将 极值间低点 分类。*)
(*分类结果：{"极值间低点"索引，"极值间低点"分类号}*)
极值间低点 = x /. 极值间低点;
低点分类 = Transpose[Table[
Catch[
For, j++,
If[所有极值点X[] < 极值间低点[] < 所有极值点X[], Throw[{i, j}]]
] (*end For*)
] (*end Catch*),
{i, Length[极值间低点]}] (*end Table*)
];(*end Transpose*)
(*-------------------------------------------------------*)
(*根据低点分类，将极值间低点进行合并。*)
极值间低点 = Table[
Mean[
Part[极值间低点, Flatten], i] (*end Position*)
] (*end Flatten*)
] (*end Part*)
] (*end Mean*),
{i, Max]}] (*end Table*);
(*-------------------------------------------------------*)
(*极值间低点 在边界处修正。*)
位置 = Length[极值间低点];
If] < Abs[误差函数[极值间低点[]]], 极值间低点[] = 0];
If] < Abs[误差函数[极值间低点[[位置]]]], 极值间低点[[位置]] = 1];
(*-------------------------------------------------------*)
(*确定窗函数数据。*)
(*-------------------------------------------------------*)
位置 = Part[Position[极值间低点, Part[
Select[极值间低点, # > 待拟合点X &, 1], 1]], 1, 1];
待拟合点两侧低点 = 极值间低点[[位置 - 1 ;; 位置]];
加窗 = ! (待拟合点X == 0 || 待拟合点X == 1 || 待拟合点两侧低点 == {0, 1});
]; (*end If*)
(*-------------------------------------------------------*)
(*输出 误差函数 数据。*)
(*-------------------------------------------------------*)
{{极值间低点,
Transpose[{所有极值点X, 所有极值点Y}],
极值范围, 极值数量,
{最大极值点X, 最大极值点Y},
{待拟合点X, 待拟合点Y},
待拟合点两侧低点, 加窗
}}
] (*end Module*)
代码通过了下列两种情况的测试：
1. 误差函数为 2F1；
2. 误差函数为经部分拟合后的剩余误差。
误差函数经多次迭代后，极值点及其间低点究竟会是什么情况，
有点没把握。光靠想像很难判明情况。
如果上述两种情形不能完全覆盖所有情况，代码就可能会有问题。
各位路过的高手多提宝贵意见，谢过先:handshake
本帖最后由 笨笨 于 2023-9-16 18:36 编辑
Jack315 发表于 2023-9-15 15:09
敢问 LZ 是什么专业 。言归正传……
计算误差函数数据的代码：
感谢先生一路相伴，虽然得出的结果差强人意，但就凭这份执着的求真态度，令人敬佩，楼主目前人在外省，电脑不在身边，所以有啥想法也没法实现。
86楼是楼主的个人极限，希望志同道合者有人能突破这个极限。最好对拉马努金公式再拟合找到一个简洁的再拟合公式一举突破10^-12，那就牛逼了！
本帖最后由 Jack315 于 2023-9-20 16:13 编辑
笨笨 发表于 2023-8-30 17:20
这是楼主目前找的比较不错的参数与拟合函数族，小结一下：
\(\mu= \left( {\frac{4}{\pi } - \frac{{14} ...
这是在 18# 前辈的基础上用 Sin 函数一次性再补偿的效果：
补偿函数为：
\\]
其中：
\(errMax\) 是 18# 前辈得到的结果：误差最大值： 1.82658e-7。
\(\theta2x(\theta)\) 是由误差函数的零点和极值点对应的角度转换为 x 值的函数：
\[\theta2x(\theta)=(0.643608 + 0.0137754 \theta - 0.0011511 \theta^2 + 0.0000270624 \theta^3) tan^{-1}\]
\(\theta2x(\theta)\)函数有比较准确的关系，但实际需要的是其反函数。
用反函数表示的函数不知道能不能算。
由这个函数算出零度对应的位置为 ：\(x=0.622366\) 。
\(x=0\) 这个点是唯一不符合这个函数关系的异常点。
【猜想】这或许表示梯度迭代的天花板可能更低。
最后误差比较大的地方大约在 \(x<0.6\) 和 \(x>0.99\) 的区域。
最终仍然需要用加窗函数的办法来解决。
单峰函数和窗函数有比较多的细节问题……有时间再接着玩。
Jack315 发表于 2023-9-20 16:01
这是在 18# 前辈的基础上用 Sin 函数一次性再补偿的效果：
看看86楼我的历史记录，能否突破？
elim 发表于 2023-9-12 00:12
笨笨可不是一般的笨，而是刻意不动脑子不学习不动手的笨．
@Jack315 :建议用切比雪夫理论一举得到支集 ...
请问怎么用切比雪夫理论一举得到最佳多项式一致逼近？可否具体点？？？？
本帖最后由 Jack315 于 2023-9-22 04:23 编辑
笨笨 发表于 2023-9-20 20:14
看看86楼我的历史记录，能否突破？
稍微再改进了一点点：
最终误差公式：
\[\begin{align}
err(x)=&Hypergeometric2F1[-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1, x^2]\notag\\&-(1+\frac{3 x^2}{10+\sqrt{4-3x^2}})\notag\\&-\frac{3 x^{10}}{131072} \bigg\notag\\&-fit1(x)-fit2(x)\notag
\end{align}\]
其中：
\[\begin{align}
fit1(x)=&4.33118\times10^{-8} (0.917361+2.99355x-24.8171x^2+99.1052x^3\notag\\&-244.232x^4+396.284x^5-369.54x^6+137.966 x^7)\times\notag\\&[\tan^{-1}\big(1000000 (x+0.17365)\big)-\tan^{-1}\big(1000000(x-0.766799)\big)]\times\notag\\&-\notag\\&2.72031\times10^{-7}\sin\big\times(0.643608 + 0.0137754x-0.0011511 x^2 + 0.0000270624 x^3)\big]\big]\notag
\end{align}\]
\[\begin{align}
fit2(x)=&5.49888\times10^{-9}(-1.67134\times10^6+93810.2x+1.73499\times10^6x^2-845361 x^3+\notag\\&1.3559\times10^6x^4+734284 x^5-184196 x^6-715654 x^7-502434 x^8)\times\notag\\&[-\tan^{-1}\big(1000000(x-1.00037)\big)+\tan^{-1}\big(1000000(x-0.999345)\big)]\times\notag\\&(1+\sin(1.76694\times10^7-3.53555\times10^7x+1.76861\times10^7x^2))\notag
\end{align}\]
另：产生切比雪夫多项式的命令：
Table] // TrigExpand, {i, 10}] // MatrixForm
Table] // TrigExpand, {i, 10}] // MatrixForm
本帖最后由 Jack315 于 2023-9-25 16:42 编辑
elim 发表于 2023-9-12 00:12
笨笨可不是一般的笨，而是刻意不动脑子不学习不动手的笨．
@Jack315 :建议用切比雪夫理论一举得到支集 ...
使用切比雪夫多项式进行拟合的结果：
最大误差（大约）为：\(9.28362\times10^{-9}\)
拟合公式 (第一类 Chebyshev 多项式，n=50)：
\(a_0+\sum_{i=1}^{n}a_iChebyshevT(2i,x)\)
代码：
我一直想用级数展开继续搞这个，但是也不好搞出形式简洁而且误差较低的。
无限增加级数项，倒是可以无限降低误差，但形式会以项数的平方变复杂，非常糟糕。
Ickiverar 发表于 2023-9-29 00:16
我一直想用级数展开继续搞这个，但是也不好搞出形式简洁而且误差较低的。
无限增加级数项，倒是可以无限降 ...
这个公式的结果肯定不是最好，个人觉得相对比较简单，可能也相对容易扩展。