用分段多项式作这种矫正拟合可以降低多项式的次数．
本帖最后由 笨笨 于 2023-8-31 23:11 编辑
elim 发表于 2023-8-31 22:50
用分段多项式作这种矫正拟合可以降低多项式的次数．
elim老师可否写出来让大家看看，也好让楼主学习一下，什么波粒子与辗转拟合法相结合到底啥意思，百思不得其解。
这个是elim老师的原话
static/image/hrline/1.gif
设拉马努金拟合误差函数为\(\psi_0,\;\psi_n\)是函数\(Er_{n-1}:=\psi_0-\cdots-\psi_{n-1}\)
的拟合， 使得 \(\frac{\left\lVert Er_k\right\rVert}{\left\lVert Er_{k-1}\right\rVert}\le10^{-2}{,}\left\lVert f\right\rVert:=\max\left| f\right|\left( \left( 0{,}1\right)\right)\)
则对某\(n\le 6\) 就有 \(\lVert Er\rVert \le 10^{-12}\).
以上方法可称为辗转拟合法．要一步找到较高精度的拟合函数族，想都别想．
笨笨 发表于 2023-9-1 10:19
这个是elim老师的原话
很同意高手的见解：对这个超几何函数，上述 n = 2 就可以了．但拟和函数不纯是初等函数．
笨笨 发表于 2023-8-28 11:02
原构造思想来源于楼上“elim”老师的贴子，楼主只是作小幅度改动。不过大致构造思想如下：
大致了解 LZ 构造 \(\varphi(x)\) 函数的思想。
只是构造出来的函数，级数展开的系数比较复杂，
求解 \(\varphi(x)\) 中的参数不容易，有一定难度……
本帖最后由 Jack315 于 2023-9-2 11:04 编辑
【分享拉马努金 (Ramanujan) 公式推导过程】
首先将超几何函数展开：
Series, {x, 0, 10}]
\[\begin{align}2F1(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,x^2)&=1+\frac{1}{4}x2+\frac{1}{64}x^4+\frac{1}{256}x^6+\frac{25}{16384}x^8+\frac{49}{65536}x^{10}+...\notag\\&=1+\frac{1}{2^2}x2+\frac{1}{2^6}x^4+\frac{1}{2^8}x^6+\frac{5^2}{2^{14}}x^8+\frac{7^2}{2^{16}}x^{10}+...\notag\end{align}\]
可以看出超几何函数是个偶函数，因而展开式中只含有偶次项：\(x^{2n},n=0,1,2,...\) 。
所以拟合函数应该满足的一个条件就是必须是偶函数。
只要级数展开式中含有奇次项，天花板就可能出现。
注意到：\(2F1(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,0^2)=1\)，
设拟合函数为：
\
级数展开后，取 \(x^2,x^4, x^6, x^8\) 的系数联立方程组，
即可求出拟合函数的参数 \((a,b,c)\) （方程组线性相关）。
化简后即得到拟合函数为：
\
天才的灵感触摸到了，
LZ 方便分享下构造\(\varphi(x)\) 更详细的过程吗？
想一探 LZ 灵感的光亮。
本帖最后由 Jack315 于 2023-9-2 10:57 编辑
【补偿函数的构造】
画出误差函数的曲线：
Plot - ramanujan, {x, 0, 1},
GridLines -> Automatic,
Frame -> True,
PlotLabel -> "剩余误差"]
这个曲线的形状立刻让人联想到指数函数：
Plot[{2^x, 3^x, 4^x}, {x, -1, 1},
GridLines -> Automatic,
PlotLegends -> "Expressions",
Frame -> True,
PlotLabel -> "指数函数 a>1"]
另一个具有类似形状的函数是区间 \(\big(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big)\) 上的正割函数：
Plot, {x, -2 \, 2 \},
ExclusionsStyle -> Dashing,
Ticks -> {Table, {i, -4, 4}], {Automatic}},
GridLines -> Automatic,
PlotLegends -> "Expressions",
PlotLabel -> "三角函数 Sec(x)"]
感觉构造拉马努金公式补偿函数应以这两个函数为基础
而且补偿函数应该是偶函数。
本帖最后由 Jack315 于 2023-9-2 11:05 编辑
出了两个一样的……删除。
若版主能帮忙把这楼删掉就更好了。
Jack315 发表于 2023-9-2 10:29
【分享拉马努金 (Ramanujan) 公式推导过程】
首先将超几何函数展开：
本帖最后由 笨笨 于 2023-9-2 20:54 编辑
Jack315 发表于 2023-9-2 10:47
【补偿函数的构造】
画出误差函数的曲线：
所拟合函数的定义域是0<x<1，而正割函数在\(\left( 0，\frac{\pi}{2}\right)\)图像确实相仿，但它们定义域不同，还要满足我楼上刚发图片上的要求，想想怎么转化之间关系。