用Mathematica编程求出最大误差函数值时如：10⁻⁸下的(x,a,b,c,d)

笨笨

elim 发表于 2023-8-31 20:36
如果1不是误差函数极值点的聚点．那么这个误差函数是数个支集为区间的单峰连续函数的和．每一个这样的函 ...

所论超何函数\(_2{F_1}\left( { - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2},1,{x^2}} \right)\)不可表为有限个初等函数的和．所以一定有天花板．



请问这个天花板有人知道吗？？？？听起来很诱人，可实力摆在面前，希望论坛有人找到这个所谓的天花板。

相传拉马努金的3900多种数学公式和相关命题都是梦里娜玛卡尔女神告诉他的，谁信？？？

若是楼主梦里也有个数学之神告诉我就好了，可惜梦里没有…………玩笑话。

elim

既然 $Er$ 连续有界且只有几个零点，它就可以被一个多项式所高精度拟合。$10^{-12}$ 不在话下。

elim

用分段多项式作这种矫正拟合可以降低多项式的次数．

笨笨

elim 发表于 2023-8-31 22:50
用分段多项式作这种矫正拟合可以降低多项式的次数．

elim老师可否写出来让大家看看，也好让楼主学习一下，什么波粒子与辗转拟合法相结合到底啥意思，百思不得其解。

笨笨

这个是elim老师的原话



设拉马努金拟合误差函数为\(\psi_0,\;\psi_n\)是函数\(Er_{n-1}:=\psi_0-\cdots-\psi_{n-1}\)
的拟合， 使得 \(\frac{\left\lVert Er_k\right\rVert}{\left\lVert Er_{k-1}\right\rVert}\le10^{-2}{,}\left\lVert f\right\rVert:=\max\left| f\right|\left( \left( 0{,}1\right)\right)\)
则对某\(n\le 6\) 就有 \(\lVert Er\rVert \le 10^{-12}\).

以上方法可称为辗转拟合法．要一步找到较高精度的拟合函数族，想都别想．

elim

笨笨 发表于 2023-9-1 10:19
这个是elim老师的原话

很同意高手的见解：对这个超几何函数，上述 n = 2 就可以了．但拟和函数不纯是初等函数．

Jack315

笨笨 发表于 2023-8-28 11:02
原构造思想来源于楼上“elim”老师的贴子，楼主只是作小幅度改动。不过大致构造思想如下：

大致了解 LZ 构造 \(\varphi(x)\) 函数的思想。
只是构造出来的函数，级数展开的系数比较复杂，
求解 \(\varphi(x)\) 中的参数不容易，有一定难度……

Jack315

【分享拉马努金 (Ramanujan) 公式推导过程】

首先将超几何函数展开：

1. Series[target[x], {x, 0, 10}]

复制代码

\[\begin{align}2F1(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,x^2)&=1+\frac{1}{4}x2+\frac{1}{64}x^4+\frac{1}{256}x^6+\frac{25}{16384}x^8+\frac{49}{65536}x^{10}+...\notag\\&=1+\frac{1}{2^2}x2+\frac{1}{2^6}x^4+\frac{1}{2^8}x^6+\frac{5^2}{2^{14}}x^8+\frac{7^2}{2^{16}}x^{10}+...\notag\end{align}\]

可以看出超几何函数是个偶函数，因而展开式中只含有偶次项：\(x^{2n},n=0,1,2,...\) 。
所以拟合函数应该满足的一个条件就是必须是偶函数。
只要级数展开式中含有奇次项，天花板就可能出现。

注意到：\(2F1(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,0^2)=1\)，
设拟合函数为：
\[1+\frac{a x^2}{b+\sqrt{c+d x^2}}\]
级数展开后，取 \(x^2,x^4, x^6, x^8\) 的系数联立方程组，
即可求出拟合函数的参数 \((a,b,c)\) （方程组线性相关）。
化简后即得到拟合函数为：
\[1+\frac{3 x^2}{10+\sqrt{4-3 x^2}}\]

天才的灵感触摸到了，
LZ 方便分享下构造  \(\varphi(x)\) 更详细的过程吗？
想一探 LZ 灵感的光亮。

Jack315

【补偿函数的构造】
画出误差函数的曲线：

1. Plot[target[x] - ramanujan[x], {x, 0, 1},
   
2. GridLines -> Automatic,
   
3. Frame -> True,
   
4. PlotLabel -> "剩余误差"]

复制代码

这个曲线的形状立刻让人联想到指数函数：

1. Plot[{2^x, 3^x, 4^x}, {x, -1, 1},
   
2. GridLines -> Automatic,
   
3. PlotLegends -> "Expressions",
   
4. Frame -> True,
   
5. PlotLabel -> "指数函数 a>1"]

复制代码

另一个具有类似形状的函数是区间 \(\big(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big)\) 上的正割函数：

1. Plot[Sec[x], {x, -2 \[Pi], 2 \[Pi]},
   
2. ExclusionsStyle -> Dashing[Small],
   
3. Ticks -> {Table[i/2 \[Pi], {i, -4, 4}], {Automatic}},
   
4. GridLines -> Automatic,
   
5. PlotLegends -> "Expressions",
   
6. PlotLabel -> "三角函数 Sec(x)"]

复制代码

感觉构造拉马努金公式补偿函数应以这两个函数为基础
而且补偿函数应该是偶函数。

Jack315

出了两个一样的……删除。
若版主能帮忙把这楼删掉就更好了。