用Mathematica编程求出最大误差函数值时如：10⁻⁸下的(x,a,b,c,d)

Jack315

跑了下 18# 的代码：
从俺找到的最佳区域最终也梯度下降到前辈的同一点上。
打概率也未能有更好的解。
所以 18# 给的答案应该就是全局最优解。
再加个参数，也提升不多了。
看样子真有天花板。

笨笨

Jack315 发表于 2023-8-30 16:25
跑了下 18# 的代码：
从俺找到的最佳区域最终也梯度下降到前辈的同一点上。
打概率也未能有更好的解。

先生可否贴一下代码看看，学习一下

Jack315

笨笨 发表于 2023-8-30 16:32
先生可否贴一下代码看看，学习一下

打概率代码：
LuckyDraw.rar (10.24 KB, 下载次数: 2)

2023-8-30 16:37 上传

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笨笨

这是楼主目前找的比较不错的参数与拟合函数族，小结一下：

\(\mu  = \left( {\frac{4}{\pi } - \frac{{14}}{{11}}} \right)\frac{{{2^{17}}}}{3}\)

\(Er\left( x \right) ≈ {}_2{F_1}\left( { - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2},1,{x^2}} \right) - 1 - \frac{{3{x^2}}}{{10 + \sqrt {4 - 3{x^2}} }} - \frac{3}{{{2^{17}}}}{x^{10}}{\mu ^{\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {1 + 425.524154{x^{ - 2.4565895}}{{\left( {1 - {x^{0.04701004}}} \right)}^{0.94801807}}} \right)}^{0.1537177}}}}}}\)

函数族界最大时的最小值：\(1.383057979\cdots\times10^{-7}\)

elim

猜想这个误差函数在区间$[1-10^{-7},1]$ 上的图形震荡得厉害．

Jack315

elim 发表于 2023-8-31 18:33
猜想这个误差函数在区间$[1-10^{-7},1]$ 上的图形震荡得厉害．

貌似猜得不太对。
补偿函数在这个区域是个 S 形，而另外两个是单调上升的。
只是因为区间范围小，看起来好像有很多振荡。
估计就是这个 S 形，导致了无论参数如何优化都无济于事。

Ickiverar 概念清晰，看问题透彻；代码简洁、高效，值得花功夫认真学习、揣摩。
相信无论是数学还是编程，应该都是专业级的水平。

笨笨

笨笨 发表于 2023-8-30 17:20
这是楼主目前找的比较不错的参数与拟合函数族，小结一下：

\(Er\left( x \right) \approx {}_2{F_1}\left( { - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2},1,{x^2}} \right) - \left( {1 + \frac{{3{x^2}}}{{10 + \sqrt {4 - 3{x^2}} }}} \right) - \frac{3}{{{2^{17}}}}{x^{10}}{\left[ {\left( {\frac{4}{\pi } - \frac{{14}}{{11}}} \right)\frac{{{2^{17}}}}{3}} \right]^{\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {1 + 425.524154{x^{ - 2.4565895}}{{\left( {1 - {x^{0.04701004}}} \right)}^{0.94801807}}} \right)}^{0.1537177}}}}}}\)

函数族界最大时的最小值：\(1.383057979\cdots\times10^{-7}\)



\(Er\left( x \right) \approx {}_2{F_1}\left( { - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2},1,{x^2}} \right) - \left( {1 + \frac{{3{x^2}}}{{10 + \sqrt {4 - 3{x^2}} }}} \right) - \frac{3}{{{2^{17}}}}{x^{10}}\left( {1 + \frac{{\left( {\frac{{79}}{{48}} + \left( {\frac{{{2^{17}}}}{3}\left( {\frac{4}{\pi } - \frac{{14}}{{11}}} \right) - 1 - \frac{{79}}{{48}}} \right)x} \right){x^2}}}{{{{\left( {1 + 17.7309{x^{0.148646}}{{\left( {\ln \frac{1}{x}} \right)}^{0.949131}}} \right)}^{0.811553}}}}} \right)\)

函数族界最大时的最小值：\(1.826584500719\cdots\times10^{-7}\)

elim

Jack315 发表于 2023-8-31 19:35
貌似猜得不太对。
补偿函数在这个区域是个 S 形，而另外两个是单调上升的。
只是因为区间范围小，看起来 ...

如果1不是误差函数极值点的聚点．那么这个误差函数是数个支集为区间的单峰连续函数的和．每一个这样的函数都可以被形如
$\chi_{(a,b)}(x)P(x)$ 高精度逼近．其中$\chi_{(a,b)}$是区间特征函数，$P$是初等函数(例如多项式)．
所论超何函数不可表为有限个初等函数的和．所以一定有天花板．

笨笨

elim 发表于 2023-8-31 20:36
如果1不是误差函数极值点的聚点．那么这个误差函数是数个支集为区间的单峰连续函数的和．每一个这样的函 ...

所论超何函数\(_2{F_1}\left( { - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2},1,{x^2}} \right)\)不可表为有限个初等函数的和．所以一定有天花板．



请问这个天花板有人知道吗？？？？听起来很诱人，可实力摆在面前，希望论坛有人找到这个所谓的天花板。

相传拉马努金的3900多种数学公式和相关命题都是梦里娜玛卡尔女神告诉他的，谁信？？？

若是楼主梦里也有个数学之神告诉我就好了，可惜梦里没有…………玩笑话。

elim

既然 $Er$ 连续有界且只有几个零点，它就可以被一个多项式所高精度拟合。$10^{-12}$ 不在话下。