用Mathematica编程求出最大误差函数值时如：10⁻⁸下的(x,a,b,c,d)

笨笨

Jack315 发表于 2023-8-24 18:14
复制的时候漏掉了。重新来过：

这结果显然是不对的。



楼上的高手算的是这个结果。

Jack315

笨笨 发表于 2023-8-24 18:22
这结果显然是不对的，楼上的高手算的是这个结果。

还是贴出来吧：
{0., {a -> -0.0000589285, b -> -5.58172, c -> -9.24795, d -> -8.9222}}

非常离谱，完全吻合。
但是图画出来一看，根本不是那么一回事

elim

设拉马努金拟合误差函数为\(\psi_0,\;\psi_n\)是函数$Er_{n-1}:=\psi_0-\cdots-\psi_{n-1}$
的拟合， 使得 $\|\| Er_k\|\|/\|\| Er_{k-1}\|\|\le 10^{-2},\;\|\| f\|\| :=\max_{0< x<1}|f|$
则对某$n\le 6$ 就有 $\|\| Er\|\| \le 10^{-12}$.

以上方法可称为辗转拟合法．要一步找到较高精度的拟合函数族，想都别想．

笨笨

elim 发表于 2023-8-25 11:18
设拉马努金拟合误差函数为\(\psi_0,\;\psi_n\)是函数$Er_{n-1}:=\psi_0-\cdots-\psi_{n-1}$
的拟合， 使得 ...

估计elim老师暂时也没有这样的补偿拟合函数族达到10^（-12）了，感觉巧妙构造需要灵感，说不定哪天心情好了，看了某个事物就想出来了。

elim

笨笨 发表于 2023-8-25 12:25
估计elim老师暂时也没有这样的补偿拟合函数族达到10^（-12）了，感觉巧妙构造需要灵感，说不定哪天心情好 ...

你的心情和巧妙构造从来没有搭过界. 可行不可行的根据是什么，凭感觉还是靠分析？

Jack315

有点好奇这个题目是哪里来的，
或者说做这个题目的目的究竟是为了什么，
还是说就是为了玩玩。

笨笨

Jack315 发表于 2023-8-25 16:43
有点好奇这个题目是哪里来的，
或者说做这个题目的目的究竟是为了什么，
还是说就是为了玩玩。

来源于小时候，大约上小学的某天下午放学5.30左右，楼主看到一颗彗星从村庄上空飞过，农村老年人叫扫把星，当时又惊又喜，喜的是太美了，惊的是由东北向西北方向的大火球滑过天空会不会掉下来砸人。然后学到了圆知道其周长，后来又想到了前面看到彗星，知其轨迹是椭圆。那么其周长是多少，查无可查，自创的题目，就是为了解决椭圆周长，围绕周边展开的话题。今天走到主贴这一步，是长期积累的结果。楼上的elim老师是楼主的网络导师陪伴楼主多年可为证，感谢先生关注。

Jack315

原来这背后还有很多故事……

如果单纯是为了在给定的定义域上拟合一个特定的函数，
理论上就是用幂级数展开，只要项数够多，可以达到任何想要的精度。
狼版在 6# 给出这个展开式，我的理解大概就是想说明这一点。

如果为了练习编程而给定的题目，这个问题的难点就在于搜索时
如何排除曲面上的“洞”，如根号内的值要不小于零；分母上的值不能为零等。
不然软件函数，如 NMinimize，就不能正常工作。
需要自行写搜索代码以处理有“洞”的情况。

如果是为了了解曲线拟合，或者优化（梯度搜索）的方法，
可以用更简单的例子，如 2-维参数空间，可以作图直接观察过程和结果。

如果是为了找到基本初等函数组合构成的拟合函数，
精度要求可能就不是特别重要。比如可以将题目改成：
给定定义在 [0,1] 上的这个超几何函数，用基本初等函数的组合构成一拟合函数。
努力追求高精度——精度高者获胜。我自己就打算这么玩玩。
这时基本初等函数有很多可选的拟合函数，“形状”相似的都可以逐一考察，
只要拟合函数参数空间没有“洞”，这个题就可以玩很久。

其实，我想知道这个自创的题目是否属于上述的某种情况。

笨笨

Jack315 发表于 2023-8-25 18:57
原来这背后还有很多故事……

如果单纯是为了在给定的定义域上拟合一个特定的函数，

是为了找到拉马努金补偿的基本初等函数组合构成的拟合函数族\(\varphi \left( x \right)\)，精度越高越好

\(\sum\limits_{n = 0}^\infty  {{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1/2}\\
n
\end{array}} \right)}^2}} {x^{2n}} = 1 + \frac{{3{x^2}}}{{10 + \sqrt {4 - 3{x^2}} }} + \varphi \left( x \right)\begin{array}{*{20}{c}}
,&{x \in [0,1]}
\end{array}\)

Jack315

笨笨 发表于 2023-8-25 19:48
是为了找到拉马努金补偿的基本初等函数组合构成的拟合函数族\(\varphi \left( x \right)\)，精度越高越 ...

这个函数 \(\frac{3x^2}{10+\sqrt{4 - 3x^2}}\) 可以看成是 \(3x^2\) 与 \(\frac{1}{10+\sqrt{4 - 3x^2}}\) 的一种组合。
两者相加应该也有同样的效果。更一般地，可以看成是 \(\frac{ax^2}{b+\sqrt{c+dx^2}}\) 。
对于这个形式，四个参数同样可以进行优化，
但也会遇到同样的问题，即根号里的 \(c+dx^2\) 必须不小于零、分母不能为 0。
事实上除了这两个函数的形状与超几何函数相似外，
还有很多可以选用，如：\(x^3\)、\(x^3\)、\(-cos(\frac{\pi}{a}x)\) ……
所以大师的灵感是怎么来的，是不是也有一个很精彩的故事？

建模或曲线拟合的关键是残差（误差）分析。
在离散数据点的情况下，残差分析用于判断附加的噪声是否符合 \(N(0,\sigma ^2)\) 的假设。
这里，是帮助寻找 \(\varphi(x)\) 函数形式的线索。
因此，需要对基本初等函数的特性逐一进行考察。
题中的 \(H(x)\) 函数相信也是费了很多思量才定的这种形式。
但指数函数 \(x^a\) 在 \(a < 0\) 的时候，同样会有 \(x=0\) 时计算困难的问题。

根号内的值必须不小于零、分母不能为零这些限制，自然会导致失去部分可选函数（的形式）。
所以要想利用这部分可选函数的形式，就必须在代码中设法解除这类限抽。
个人倾向先放弃类函数（的形式），除非找不出满足（精度）要求的函数。

另外，评估模型优劣时，在离散数据点的情况下，一般使用残差平方和或均方误差作为标准。
在连续数据的情况下，应使用误差函数平方在定义域上的积分。
至于是不是与误差最大值做评估标准有相同的结果，现在还不清楚。