论坛 › 难题征解 › 几何超难题求解

iseemu2009 发表于 2024-11-23 10:25:40

几何超难题求解

如图所示为三角形中心大全网站使用的(6,9,13)三角形，AB=6，BC=13，CA=9，D、E 是 BC边上的两点，满足三角形ABD，ADE，AEC 的内切圆半径相等，求半径的值？ 延拓的几个新问题都比较精彩

王守恩 发表于 2024-11-23 19:16:48

N == 9/Sin == 13/Sin, Cos/Sin + Cos/Sin == 6/r, Cos/Sin + Cos/Sin == 9/r,
   Cos/Sin + Sin/Cos + Cos/Sin + Cos/Sin + Sin/Cos + Cos/Sin == 13/r, 1 > B > b > A > a > 0}, {a, A, b, B, r}], 20]
{{a -> 0.20822601201426420706, b -> 0.32600003255365010672, x -> 0.26278266809129013173, y -> 0.35768642953119268949, r -> 1.0650522444110092760}}

nyy 发表于 2024-11-23 20:58:15

如图。你的图在哪里？

wayne 发表于 2024-11-23 22:13:58

答案是$\frac{2}{13} \sqrt{10 (14+14^{1/3}-2* 14^{2/3})}$, 即$28561 t^6-283920 t^4+1075200 t^2-896000=0$的一个根，$1.06505224441100927598477343501$

王守恩 发表于 2024-11-24 07:14:37

我的软件就是出不来答案。6, 9, 13应该是可以换的。
Solve[{6/Sin==9/Sin==13/Sin, Cot + Cot==6/r, Cot + Cot==9/r, Cot + Cot + 2/Sin + 2/Sin==13/r, 1>B>b>A>a>0},{a,A,b,B,r}]

iseemu2009 发表于 2025-1-24 11:35:55

wayne 发表于 2024-11-23 22:13
答案是$\frac{2}{13} \sqrt{10 (14+14^{1/3}-2* 14^{2/3})}$, 即$28561 t^6-283920 t^4+1075200 t^2-896000 ...

你是答案是正确的。来个更难一点的问题：三角形 ABC 中，AB=19，BC=26，CA=15。D、E、F、G、H 在边BC上，且它们从 B 到 C 按顺序排列。连接 AD、AE、AF、AG、AH，使相邻的 6 个小三角形有相等的内切圆半径，求 AF 的长度。

nyy 发表于 2025-1-24 14:44:49

本帖最后由 nyy 于 2025-1-24 14:46 编辑

Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
heron:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt]
(*AE=a,AD=b,CE=c,ED=d,DB=e*)
ans=NSolve[{
    (heron/(a+c+9))^2==(heron/(a+b+d))^2==(heron/(b+e+6))^2,(*三角形的内切圆半径相等*)
    c+d+e==13,(*BC的线段长度=13*)
    cs+cs==0,(*∠AEC的余弦值+∠AED的余弦值=0*)
    cs+cs==0,(*余弦值相加等于零*)
    a>0&&b>0&&c>0&&d>0&&e>0(*限制变量范围*)
},{a,b,c,d,e},1000](*先求出数值解*)
aaa=RootApproximant[{a,b,c,d,e}/.ans](*由数值解得到精确解*)
bbb=ToRadicals(*转化为根式*)


求解结果
{{a -> 4.5016151684142909712844132436327097633024219506621540387271314\
3179447165200903881834182753390035778908460659730014706227592687244440\
4038318353261741079864607320984923773816296746195329432956879094655905\
0848478084772294338545324397269168271963851847401152250131480408335910\
1253799481544561758927520501078214660419166377265690564263168380517729\
3181546564780297030962031891534475281359053124680827894437169972540329\
9852240491721382720723534066860324524980177567643516677673862273649676\
1041848545550881332029356824413324033062488310277315417575489442873883\
7831453967345046110101962740028374544480691799505463965328106712867754\
6256396155833000337896766932246063637497434114445770461277384537302860\
4384038761851648002727182585049890592365634867149834057373046033107236\
7216890981334224632491781325000721719032034311110983553408352329605249\
568381490776597018766138908058424918375631787747448736882524480278,
b -> 3.7173128293246431018508969026216709378219817029066716445160095\
3627652918010162194914712152727277866836753728471914485292061087960904\
8875352036871829541225421696643714238569976861616872258810847292516060\
1658789338513973047682815654750201430595130578364466109609617871732067\
8456400381707274278133395633642707381606746502247789053644579024343056\
1464018261630781134806168728048316118659071674184506198286342163000792\
3711618446871303330159266582164818498444554639174219093897397567286753\
9971576695606002109801314856846791369649663008169367882321855292760859\
8330740055135458092382820279164745785335229231136263452831997395363309\
5958200546956161652249259887194186407695757806011441677681830515287442\
6956934762798559677359596485503715574079905235889636920678381789410351\
4517491889594916410709168973909118078910152211857999727976372090522018\
438895824920625654921460604302965393497151265825701034395924251707,
c -> 5.5831096501820397872758711160621155408164867339385133875529760\
3775421429177757182306018132473565257027879475943124358182285586464543\
4631226397678241210002145747790741620921736885076037465941167794279724\
6338169167599580709848496949309234313918657226934736884796607010171010\
9357022478951690915541598105011679121826510579568632412106265027727348\
2665738888846565513560837433264025370558205277901713160461519114973692\
8463591589397466776111456272374784542367399169581142133303027257131260\
1666708079344916159833139260896345400754143103560727139013586230899823\
8447687213259680604911562524888572522257353034228584187496366517534220\
6662481689419382105310988051426544843035615084493378542586133779565149\
6573726441515079537078165865919409825791049120380403142258190928366257\
6387078303303777450383717435581159315870798032301601076532472048894724\
705787520885459428808473987872754198572842875808542183823827215176,
d -> 3.3986434693884741008785708110478349104152410736070903749148615\
4724441737826547309984372602871950952310730035451767624053970263561987\
2372854037689616667436471038811907986067386166506647754632804475939327\
9821984567119392260404204550915522979264458832492306608928070991949983\
2122062765961579083441207758887198208187152791744239879347220543423583\
7442622646981235550008740375106689705033252952150727349986920508004662\
9942695527683677359111825767013859448321032690033622863031347060905995\
7971178016427809962988181859454974874788909642467772652765747983823103\
7836426952908214743449617330409057956297004462933202220816473709185928\
4625514305132967637805863861891467995807264003215424728914067428733476\
8850783995896716076592873098033425079238161735460854259010211722686502\
8364062730870335627724653521396949107194822430096263243538581036027334\
894437885375875909993605982940324607806748928327573377441934323806,
e -> 4.0182468804294861118455580728900495487682721924543962375321624\
1500136832995695507709609264654483790661390488605108017763744149973469\
2995919564632142122561383213397350393010876948417314779426027729780947\
3839846265281027029747298499775242706816883940572956506275321997879005\
8520914755086730001017194136101122669986336628687127708546514428849067\
9891638464172198936430422191629284924408541769947559489551560377021644\
1593712882918855864776717960611356009311568140385235003665625681962744\
0362113904227273877178678879648679724456947253971500208220665785277072\
3715885833832104651638820144702369521445642502838213591687159773279850\
8712004005447650256883148086681987161157120912291196728499798791701373\
4575489562588204386328961036047165094970789144158742598731597348947239\
5248858965825886921891629043021891576934379537602135679928946915077940\
399774593738664661197920029186921193620408195863884438734238461019}}

精确解是
\[\left(
\begin{array}{ccccc}
\text{Root}\left & \text{Root}\left & \text{Root}\left & \text{Root}\left[\text{$\#$1}^3+42 \text{$\#$1}-182\&,1\right] & \text{Root}\left \\
\end{array}
\right)\]
六个根
{{Root[-7854 - 1680 #1 + 169 #1^3 &, 1],
Root[-2436 - 1680 #1 + 169 #1^3 &, 1],
Root[-100477 + 36027 #1 - 4173 #1^2 + 169 #1^3 &, 1],
Root[-182 + 42 #1 + #1^3 &, 1],
Root[-25012 + 13212 #1 - 2418 #1^2 + 169 #1^3 &, 1]}}

对应的根式形式是
\[\left(
\begin{array}{ccccc}
\frac{5 \sqrt{14}}{13}+\frac{8\ 14^{2/3}}{13} & \frac{8 \sqrt{14}}{13}+\frac{5\ 14^{2/3}}{13} & \frac{1}{13} \left(107+5 \sqrt{14}-8\ 14^{2/3}\right) & -\sqrt{14}+14^{2/3} & \frac{1}{13} \left(62+8 \sqrt{14}-5\ 14^{2/3}\right) \\
\end{array}
\right)\]

nyy 发表于 2025-1-24 14:54:25

本帖最后由 nyy 于 2025-1-24 14:59 编辑

nyy 发表于 2025-1-24 14:44
求解结果




aaa=RootApproximant[{a,b,c,d,e}/.ans](*由数值解得到精确解*)
bbb=ToRadicals(*转化为根式*)
rule=Thread[{a,b,c,d,e}->bbb[]](*替换规则*)
Grid(*列表显示*)
ccc=RootReduce/(a+c+9)/.rule](*找到内切圆的半径的根*)
ddd=ToRadicals(*转化为根式*)

六边的长度
\[\begin{array}{l}
a\to \frac{5 \sqrt{14}}{13}+\frac{8\ 14^{2/3}}{13} \\
b\to \frac{8 \sqrt{14}}{13}+\frac{5\ 14^{2/3}}{13} \\
c\to \frac{1}{13} \left(107+5 \sqrt{14}-8\ 14^{2/3}\right) \\
d\to 14^{2/3}-\sqrt{14} \\
e\to \frac{1}{13} \left(62+8 \sqrt{14}-5\ 14^{2/3}\right) \\
\end{array}\]

圆的半径的方程的根(结果错误，应该乘以2)
Root[-14000 + 67200 #1^2 - 70980 #1^4 + 28561 #1^6 &, 2]
代数表达式
\[\frac{1}{13} \sqrt{10 \left(14+\sqrt{14}-2\ 14^{2/3}\right)}\]

半径
Root[-896000 + 1075200 #1^2 - 283920 #1^4 + 28561 #1^6 &, 2]
代数表达式
\[\frac{2}{13} \sqrt{10 \left(14+\sqrt{14}-2\ 14^{2/3}\right)}\]

数值等于
1.0650522444110092760

修正后的代码
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
heron:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt]
(*AE=a,AD=b,CE=c,ED=d,DB=e*)
ans=NSolve[{
    (heron/(a+c+9))^2==(heron/(a+b+d))^2==(heron/(b+e+6))^2,(*三角形的内切圆半径相等*)
    c+d+e==13,(*BC的线段长度=13*)
    cs+cs==0,(*∠AEC的余弦值+∠AED的余弦值=0*)
    cs+cs==0,(*余弦值相加等于零*)
    a>0&&b>0&&c>0&&d>0&&e>0(*限制变量范围*)
},{a,b,c,d,e},1000](*先求出数值解*)
aaa=RootApproximant[{a,b,c,d,e}/.ans](*由数值解得到精确解*)
bbb=ToRadicals(*转化为根式*)
rule=Thread[{a,b,c,d,e}->bbb[]](*替换规则*)
Grid(*列表显示*)
ccc=RootReduce/(a+c+9)/.rule](*找到内切圆的半径的根*)
ddd=ToRadicals(*转化为根式*)

nyy 发表于 2025-1-25 19:00:47

iseemu2009 发表于 2025-1-24 11:35
你是答案是正确的。来个更难一点的问题：三角形 ABC 中，AB=19，BC=26，CA=15。D、E、F、G、H 在边BC上， ...

你有答案吗？

nyy 发表于 2025-1-26 09:31:15

iseemu2009 发表于 2025-1-24 11:35
你是答案是正确的。来个更难一点的问题：三角形 ABC 中，AB=19，BC=26，CA=15。D、E、F、G、H 在边BC上， ...

Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
heron:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt]
(*子函数,用来计算内切圆半径的平方*)
rr:=((heron/(a+b+c))^2)
(*子函数,用来计算平角两侧的余弦值的和,最后同分得到分子*)
pj:=(Numerator@Together+cs]==0)
ans=NSolve[{
    rr==rr==rr==rr==rr==rr,
    pj,pj,pj,pj,pj,
    a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k==26,
    a>0&&b>0&&c>0&&d>0&&e>0&&f>0&&g>0&&h>0&&i>0&&j>0&&k>0(*限制变量范围*)
},{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k},1000](*先求出数值解*)
aaa=RootApproximant[{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k}/.ans](*由数值解得到精确解*)
bbb=ToRadicals(*转化为根式*)
rule=Thread[{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k}->bbb[]](*替换规则*)
Grid(*列表显示*)
ccc=RootReduce/(19+a+f)/.rule](*找到内切圆的半径的根*)
ddd=ToRadicals(*转化为根式*)


你的回答，计算量太大，软件没计算出结果

查看完整版本: 几何超难题求解