那就怪了. 我查查.莫非问题还是出在 弧长的表达?
该定理 很可能是成立的. 目前发现 图像的第一,三象限 完全重合. 数值计算也完全相等.第二,四象限 有点小问题.
我服了. 这段劣弧如此折腾, 终于让 椭圆 和代数解 完全重合了. 至此,应该可以说 这个"诡异的定理" 是成立的:
设 \theta _1=ArcTan(\frac{b (x y-a b \sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1})}{a (b^2-y^2))), \theta _2=ArcTan(\frac{b (x y+a b \sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1})}{a (b^2-y^2))),
则:
1) \theta _2<0时,弧长表达式为:
a*Abs(EllipticE(\pi/2-\theta _2-\pi,1-{b^2}/{a^2}) - EllipticE(\pi/2-\theta _1,1-{b^2}/{a^2}))
2) \theta _1<0,\theta _2>0时,弧长表达式为:
a*Abs(EllipticE(\pi/2-\theta _2,1-{b^2}/{a^2}) - EllipticE(\pi/2-\theta _1,1-{b^2}/{a^2}))
3) \theta _1>0,\theta _2>0时,弧长表达式为:
a*Abs(EllipticE(\pi/2-\theta _2-2\pi,1-{b^2}/{a^2}) - EllipticE(\pi/2-\theta _1-\pi,1-{b^2}/{a^2}))
现在有一个疑问:
上面给出的如此庞杂的方程,图像跟外椭圆方程完全重合, 将内椭圆参数a,b以及绳长任意改动,仍然重合.数值计算外椭圆上任意一般位置的点,也答案一致.
那么我们怎么证明这个庞杂的表达式 其实是一个椭圆方程呢?
你能否看下可以不可以用mathematica算一下70楼的公式？
第一步是将t1,t2表示成t的公式，也就是解一个二次方程，然后用ArcTan表示角度t1,t2。
第二步就是利用第二个公式表示出${dt_1}/{ds}$和${dt_2}/{ds}$,同样写成s的表达式
然后可以算出${dL_1}/{ds},{dL_2}/{ds},{dH_1}/{ds},{dH_2}/{ds}$
@mathe,刚才用软件算了 一下. 发现两个切线长度的微元之和 非常复杂 .
原因在于引入 m,n 这两个参数 导致表达式不具有对称性而不能化简..
写了个Pari/Gp代码数值验证70#，
输入要求$m>a>b,0<s<=pi/2$
然后代码返回两个数，分别代表${dL_1}/{ds}+{dL_2}/{ds}$以及${dH_1}/{ds}-{dH_2}/{ds}$，可以看到计算结果总是相同
get_r(a,b,m,s)={
local(n,e,cs,ss,tmp,tmp2,t1,t2,ct1,st1,ct2,st2);
local(dt1,dt2,L1,L2,dL1,dL2,dH1,dH2);
n=sqrt(m^2-a^2+b^2);
e=sqrt(a^2-b^2)/a;
cs=cos(s);ss=sin(s);
tmp=real(polroots((n*ss)^2*x^2+b^2*(1-m/a*cs*x)^2-(n*ss)^2));
tmp2=vector(2)~;
tmp2=b/(n*ss)*(1-m/a*cs*tmp);
tmp2=b/(n*ss)*(1-m/a*cs*tmp);
t1 = arg(tmp+tmp2*I);
t2 = arg(tmp+tmp2*I);
if(t2>t1,tmp=t1;t1=t2;t2=tmp);
if(t1-t2>Pi, tmp=t1-2*Pi;t1=t2;t2=tmp);
ct1=cos(t1);st1=sin(t1);ct2=cos(t2);st2=sin(t2);
dt1=(n/b*st1*cs-m/a*ct1*ss)/(m/a*st1*cs-n/b*ct1*ss);
dt2=(n/b*st2*cs-m/a*ct2*ss)/(m/a*st2*cs-n/b*ct2*ss);
L1=sqrt((m*cs-a*ct1)^2+(n*ss-b*st1)^2);
L2=sqrt((m*cs-a*ct2)^2+(n*ss-b*st2)^2);
dL1=(m*cs-a*ct1)*(a*st1*dt1-m*ss)+(n*ss-b*st1)*(n*cs-b*ct1*dt1);
dL1/=L1;
dL2=(m*cs-a*ct2)*(a*st2*dt2-m*ss)+(n*ss-b*st2)*(n*cs-b*ct2*dt2);
dL2/=L2;
dH1=a*sqrt(1-e^2*ct1^2)*dt1;
dH2=a*sqrt(1-e^2*ct2^2)*dt2;
}
这个定理 诡异神奇的地方就是 椭圆积分可以跟 初等函数 之间建立起 恒等式.