诡异的椭圆定理

wayne

那就怪了. 我查查.莫非问题还是出在 弧长的表达?

wayne

该定理 很可能是成立的. 目前发现 图像的第一,三象限 完全重合. 数值计算也完全相等.第二,四象限 有点小问题.

wayne

我服了. 这段劣弧如此折腾, 终于让 椭圆 和代数解 完全重合了. 至此,应该可以说 这个"诡异的定理" 是成立的:

wayne

设 $\theta _1=ArcTan(\frac{b (x y-a b \sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1})}{a (b^2-y^2))), \theta _2=ArcTan(\frac{b (x y+a b \sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1})}{a (b^2-y^2)))$,
则:

1) $\theta _2<0$时,弧长表达式为:
$a*Abs(EllipticE(\pi/2-\theta _2-\pi,1-{b^2}/{a^2}) - EllipticE(\pi/2-\theta _1,1-{b^2}/{a^2}))$

2) $\theta _1<0,\theta _2>0$时,弧长表达式为:
$a*Abs(EllipticE(\pi/2-\theta _2,1-{b^2}/{a^2}) - EllipticE(\pi/2-\theta _1,1-{b^2}/{a^2}))$


3) $\theta _1>0,\theta _2>0$时,弧长表达式为:
$a*Abs(EllipticE(\pi/2-\theta _2-2\pi,1-{b^2}/{a^2}) - EllipticE(\pi/2-\theta _1-\pi,1-{b^2}/{a^2}))$

wayne

现在有一个疑问:
上面给出的如此庞杂的方程,  图像跟外椭圆方程完全重合, 将内椭圆参数a,b以及绳长任意改动,仍然重合.  数值计算外椭圆上任意一般位置的点,也答案一致.

那么我们怎么证明这个庞杂的表达式 其实是一个椭圆方程呢?

mathe

你能否看下可以不可以用mathematica算一下70楼的公式？
第一步是将t1,t2表示成t的公式，也就是解一个二次方程，然后用ArcTan表示角度t1,t2。
第二步就是利用第二个公式表示出${dt_1}/{ds}$和${dt_2}/{ds}$,同样写成s的表达式
然后可以算出${dL_1}/{ds},{dL_2}/{ds},{dH_1}/{ds},{dH_2}/{ds}$

wayne

@mathe,  刚才用软件算了 一下. 发现两个切线长度的微元之和 非常复杂 .
原因在于引入 m,n 这两个参数 导致表达式不具有对称性而不能化简..

mathe

写了个Pari/Gp代码数值验证70#，
输入要求$m>a>b,0<s<=pi/2$
然后代码返回两个数，分别代表${dL_1}/{ds}+{dL_2}/{ds}$以及${dH_1}/{ds}-{dH_2}/{ds}$，可以看到计算结果总是相同

1. get_r(a,b,m,s)={
   
2.     local(n,e,cs,ss,tmp,tmp2,t1,t2,ct1,st1,ct2,st2);
   
3.     local(dt1,dt2,L1,L2,dL1,dL2,dH1,dH2);
   
4.     n=sqrt(m^2-a^2+b^2);
   
5.     e=sqrt(a^2-b^2)/a;
   
6.     cs=cos(s);ss=sin(s);
   
7.     tmp=real(polroots((n*ss)^2*x^2+b^2*(1-m/a*cs*x)^2-(n*ss)^2));
   
8.     tmp2=vector(2)~;
   
9.     tmp2[1]=b/(n*ss)*(1-m/a*cs*tmp[1]);
   
10.     tmp2[2]=b/(n*ss)*(1-m/a*cs*tmp[2]);
    
11.     t1 = arg(tmp[1]+tmp2[1]*I);
    
12.     t2 = arg(tmp[2]+tmp2[2]*I);
    
13.     if(t2>t1,tmp=t1;t1=t2;t2=tmp);
    
14.     if(t1-t2>Pi, tmp=t1-2*Pi;t1=t2;t2=tmp);
    
15.     ct1=cos(t1);st1=sin(t1);ct2=cos(t2);st2=sin(t2);
    
16.     dt1=(n/b*st1*cs-m/a*ct1*ss)/(m/a*st1*cs-n/b*ct1*ss);
    
17.     dt2=(n/b*st2*cs-m/a*ct2*ss)/(m/a*st2*cs-n/b*ct2*ss);
    
18.     L1=sqrt((m*cs-a*ct1)^2+(n*ss-b*st1)^2);
    
19.     L2=sqrt((m*cs-a*ct2)^2+(n*ss-b*st2)^2);
    
20.     dL1=(m*cs-a*ct1)*(a*st1*dt1-m*ss)+(n*ss-b*st1)*(n*cs-b*ct1*dt1);
    
21.     dL1/=L1;
    
22.     dL2=(m*cs-a*ct2)*(a*st2*dt2-m*ss)+(n*ss-b*st2)*(n*cs-b*ct2*dt2);
    
23.     dL2/=L2;
    
24.     dH1=a*sqrt(1-e^2*ct1^2)*dt1;
    
25.     dH2=a*sqrt(1-e^2*ct2^2)*dt2;
    
26.     [dL1+dL2, dH1-dH2]
    
27. }
    
28. 
    

复制代码

wayne

这个定理 诡异神奇的地方就是 椭圆积分可以跟 初等函数 之间建立起 恒等式.

creasson