诡异的椭圆定理

creasson · 发表于 2013-12-27 22:55:43

creasson · 发表于 2013-12-28 00:14:00

creasson 发表于 2013-12-27 22:55

计算了下，1万位小数点精度下仍没出现异常，难道椭圆竟有如此复杂的参数形式？

mathe · 发表于 2013-12-28 08:55:44

超越性还是可以理解的:这里是两个超越函数的差是初等函数.只是表达式过于复杂，直接计算很难证明。如果转化为微分形式，就没有超越函数了，但是计算复杂度还是很大，但是通过102#的结论就可以几何方法证明了。
其实几何里面很多几何方法得到的定理都很难通过计算来证明。

wayne · 发表于 2013-12-28 11:13:05

mathe 发表于 2013-12-28 08:55
超越性还是可以理解的:这里是两个超越函数的差是初等函数.只是表达式过于复杂，直接计算很难证明。如果转化 ...

这个初等函数还是分段函数.
证明是一方面. 椭圆轨迹的显式表达又是另一个问题. 这个椭圆的轨迹,竟然没有简洁的表达.

数学星空 · 发表于 2013-12-28 11:41:30

从一般情形考虑来说最简洁的表达就是：
$P({acos(t_1)}/cos(t_2),{bsin(t_1)}/cos(t_2))$
$L=int_{t_1-t_2}^{t_1+t_2}sqrt(a^2sin(t)^2+b^2cos(t)^2)dx -tan(t_2)(sqrt(a^2sin(t_1+t_2)^2+b^2cos(t_1+t_2)^2)+sqrt(a^2sin(t_1-t_2)^2+b^2cos(t_1-t_2)^2))$

或者：$P(x,y)$
$t_1=arctan({bx}/{ay}),t_2=arccos(1/sqrt(x^2/a^2+y^2/b^2))$
$L=int_{t_1-t_2}^{t_1+t_2}sqrt(a^2sin(t)^2+b^2cos(t)^2)dx -tan(t_2)(sqrt(a^2sin(t_1+t_2)^2+b^2cos(t_1+t_2)^2)+sqrt(a^2sin(t_1-t_2)^2+b^2cos(t_1-t_2)^2))$

若纯粹从计算和形式上来说：（下面取顶点得到的形式最简洁）

对于给定的内椭圆$x^2/m^2+y^2/n^2=1$,及绳长$L$
可以由下式计算得到$a,b$值，即P点的轨迹$x^2/a^2+y^2/b^2=1$

$L=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx -2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx+(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a$

$m^2-n^2=a^2-b^2$