诡异的椭圆定理

mathe · 发表于 2013-12-21 09:37:46

EllipticE对应是从短轴顶点出发的一段弧长

wayne · 发表于 2013-12-21 11:37:26

已知两个切点对应的角度参数的正弦值, 如何用椭圆积分表达两个切线所夹的短的弧长部分还是个问题.
需要判断四个象限.

mathe · 发表于 2013-12-21 11:44:46

看70楼的$H_1$,里面的余弦换成正弦就是第二类椭圆积分，也就是互补的关系

wayne · 发表于 2013-12-21 12:12:19

由于ArcTan的值域不具有单值性,会给角度值到笛卡尔坐标的变量转换带来麻烦, 所以不妨先假设 $0<\theta_1<\theta_2<2*\pi$,
又由于两个切线所夹的弧长短于椭圆的半个周长,所以 $0<\theta_2-\theta_1<\pi$,
于是就有 $\theta_1 < {\theta_2+\theta_1}/2 <\pi/2 +\theta_1$

wayne · 发表于 2013-12-21 12:36:56

mathe 发表于 2013-12-21 11:44
看70楼的$H_1$,里面的余弦换成正弦就是第二类椭圆积分，也就是互补的关系

是这样的, 我正在画P的轨迹图. 从外形看,至少是跟椭圆很相似的.但我目前由于ArcTan的多值性导致图像有点小问题,这是我作出的图:
(蓝色的是原椭圆, 紫红色的是P的轨迹曲线)

mathe · 发表于 2013-12-21 12:48:23

可以用ArcTan(x,y)

wayne · 发表于 2013-12-21 13:09:11

mathe 发表于 2013-12-21 12:48
可以用ArcTan(x,y)

还是不行.几个角度的正切值的表达式都是唯一的.两切线长度之和的表达式也唯一, 然而一旦计算切点的坐标的时候,就开始出现多值了

mathe · 发表于 2013-12-21 13:18:06

你的公式里面怎么EllipticE第二个参数是$1-{a^2}/{b^2}$,这个是负数，应该是离心率的平方呀？

wayne · 发表于 2013-12-21 13:19:01

mathe 发表于 2013-12-21 12:48
可以用ArcTan(x,y)

我代进去其中一个解,终于画出像样的图像了:

mathe · 发表于 2013-12-21 13:20:47

然后你可以再画个椭圆看看是否重叠

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