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楼主: 数学星空

[讨论] 诡异的椭圆定理

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发表于 2013-12-21 09:23:27 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2013-12-20 21:00
我们可以用第二类不完全椭圆积分来数值验证。
比如选择内椭圆$x^2/4+y^2=1$,我们选择外椭圆一个点B(0,2), ...

mathe的计算是不是有点问题啊:
(0,2)是在纵轴上,对应的切点 关于y轴对称,所以计算弧长的时候,应该有 EllipticE[Pi/2, 3/4] 去减它,即  2(EllipticE[Pi/2, 3/4] - EllipticE[Pi/6, 3/4]).
(sqrt(7),0) 在横轴上, 关于x轴对称,所以弧长直接 是 2 (EllipticE[ArcTan[Sqrt[3]/2], 3/4]  
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发表于 2013-12-21 09:37:46 来自手机 | 显示全部楼层
EllipticE对应是从短轴顶点出发的一段弧长

点评

哎呀.我是从参数方程导出来的.里面的是cos,而定义是sin, ...  发表于 2013-12-21 10:03
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发表于 2013-12-21 11:37:26 | 显示全部楼层
已知两个切点对应的角度参数的正弦值,  如何用椭圆积分 表达 两个切线所夹的 短的弧长部分 还是个问题.
需要判断四个象限.
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发表于 2013-12-21 11:44:46 来自手机 | 显示全部楼层
看70楼的$H_1$,里面的余弦换成正弦就是第二类椭圆积分,也就是互补的关系
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发表于 2013-12-21 12:12:19 | 显示全部楼层
由于ArcTan的值域不具有单值性,会给角度值到笛卡尔坐标的变量转换带来麻烦, 所以不妨先假设 $0<\theta_1<\theta_2<2*\pi$,
又由于两个切线所夹的弧长短于椭圆的半个周长,所以  $0<\theta_2-\theta_1<\pi$,
于是 就有 $\theta_1 < {\theta_2+\theta_1}/2 <\pi/2 +\theta_1$
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发表于 2013-12-21 12:36:56 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2013-12-21 11:44
看70楼的$H_1$,里面的余弦换成正弦就是第二类椭圆积分,也就是互补的关系

是这样的, 我正在画P的轨迹图. 从外形看,至少是跟椭圆很相似的.但我目前由于ArcTan的多值性导致图像有点小问题,这是我作出的图:
(蓝色的是原椭圆, 紫红色的是P的轨迹曲线)

aaa.png

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发表于 2013-12-21 12:48:23 来自手机 | 显示全部楼层
可以用ArcTan(x,y)

点评

噢,我把切点的坐标代进去,看看  发表于 2013-12-21 13:00
这个我想过.但尚不知道怎么利用.因为当前的已知来看,能用的就是几种角度的正切值了  发表于 2013-12-21 12:53
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发表于 2013-12-21 13:09:11 | 显示全部楼层

还是不行.几个角度的正切值的表达式都是唯一的.两切线长度之和的表达式也唯一, 然而 一旦计算切点的坐标的时候,就开始出现多值了
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发表于 2013-12-21 13:18:06 | 显示全部楼层
你的公式里面怎么EllipticE第二个参数是$1-{a^2}/{b^2}$,这个是负数,应该是离心率的平方呀?

点评

嗯,在Mathematica里面,b EllipticE[Pi, 1 - a^2/b^2] 等价于 a EllipticE[Pi, 1 - b^2/a^2]  发表于 2013-12-21 13:20
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发表于 2013-12-21 13:19:01 | 显示全部楼层

我代进去其中一个解,终于画出 像样的图像了:

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