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楼主: 数学星空

[讨论] 诡异的椭圆定理

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发表于 2012-4-17 12:24:52 | 显示全部楼层
32# zgg___
分别列出 切线方程,AP的方程,然后根据斜率与倾角的关系什么的,得到 一个较复杂的一阶的微分方程
解出来,得到轨迹方程
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2012-4-17 20:08:07 | 显示全部楼层
光反射椭圆定理:
内接于椭圆$C_1$(周长为$L$)的所有凸$n$边形中满足光反射性质的凸$n$边形$A_1 A_2 ..A_n$周长相等且均取最大值$L_0$;
更进一步只有一个与椭圆$C_1$共焦点的椭圆$C_2$与光反射凸$n$边形$A_1 A_2.. A_n$外切,依次切于点$B_1,B_2....B_n$,
则必成立:

$bar(A_k B_(k-1))+bar(A_k B_k)+hat(B_k B_(k-1))=L+(L_0-L)/n $ ($1<=k<=n$,且$k$为正整数)


注:$hat(B_k B_(k-1))$为不含$A_k$的椭圆弧(可定义为椭圆优弧)长度。
         
         记$A_1 B_0=A_1 B_n$,切点$B_(k-1)$位于$A_(k-1),A_k$之间。
   
       $bar(A_k B_(k-1))$为$A_k B_(k-1)$线段长。

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 楼主| 发表于 2012-4-17 20:27:59 | 显示全部楼层
对于楼上的完美定理,我们可以用数值计算给予验证....
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 楼主| 发表于 2012-4-18 01:19:47 | 显示全部楼层
现给出$n=7$时的验证结果:
设$a=500,b=400$,代入/thread-3740-4-2.html  33#方程解得
$m = 461.2414144, n = 350.3478876$
然后分别算出凸7边形的各个顶点及切点坐标
$A1[-425.4872848, 135.2476400]$
$A2[-116.3881840, 339.0104432]$
$A3[311.1896544, 258.5958921]$
$A4[461.2414141, 0]$
$A5[311.1896544, -258.5958921]$
$A6[-116.3881840, -339.0104432]$
$A7[-425.4872848, -135.2476400]$
$B1[-500, 0]$
$B2[-337.3392375, 295.2447000]$
$B3[126.1684024, 387.0557866]$
$B4[461.2414145, 154.4152481]$
$B5[461.2414145, -154.4152481]$
$B6[126.1684024, -387.0557866]$
$B7[-337.3392375, -295.2447000]$
然后计算得到
$L=2561.597460$
$L_0=2743.863770$
最终算得:

$bar(A_k B_(k-1))+bar(A_k B_k)+hat(B_k B_(k-1))=L+(L_0-L)/7=2587.635504$

即验证了楼上的定理
n=7内接光反射椭圆结果.jpg
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发表于 2012-4-18 07:13:33 | 显示全部楼层
43# 数学星空
这个结论应该弱于本题的结论
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 楼主| 发表于 2012-4-18 20:16:15 | 显示全部楼层
43#的结论主要是为了阐述椭圆内接N边形最大周长与本题之间的关系。。。
有了此定理可以解决一些不容易解决的难题
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 楼主| 发表于 2012-4-18 20:35:04 | 显示全部楼层
对于椭圆$C_1$ : $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的内接凸n边形的最大周长$L(n)$问题:

设内接椭圆$C_1$的光反射n边形的外切椭圆$C_2$ : $x^2/m^2+y^2/n^2=1$

则:

$L(n)=L_0-n*(L_1-L_2)$

$L_0=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx$

$L_1=2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx$

$L_2=(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a$
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发表于 2013-12-9 23:48:41 | 显示全部楼层
这个问题很有意思。我想到了两个定理。

第一个定理是Graues定理:同焦点椭圆上一点与另一椭圆两条切线段长度之和减去切线所夹椭圆弧长的值是个常数。
比如,e和e'是两个同焦点椭圆,P为e上任一点,从P向e'做两条切线,切点分别为H,K,那么PH和PK线段长度之和减去二者所夹的椭圆弧长HK是个定值。

很明显,楼主的问题是Graues定理的逆命题。因为楼主题目中绳子长度定值,红色椭圆弧长是定值,因而二者相减就是切线长度之和与所夹椭圆弧长之差也是定值。

第二个定理是庞斯莱闭包定理: C和D是圆锥曲线,若有一n边形既内接于C又外切于D,则对于C上任一点P,必有一n边形既内接于C又外切于D。(记得不太准)

与之相关另外还有一个帕斯卡(Pascal)定理和布列安桑(Brianchon)定理所推广的谢国芳小定理(http://www.xieguofang.cn/Maths/GeometryTheorems/Guofang_Xie's_Conic_Theorem_1.htm)

赞同10楼所说。
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发表于 2013-12-10 10:36:51 | 显示全部楼层
由于楼主的问题是在一种物理背景下的问题(运动学问题),故下面给出一种运动学上的证明。

椭圆的切线有个性质——
引理  过椭圆外一点Y做两射线与椭圆相切,切点分别为H,K。设距切点最近相应的焦点分别为F1,F2。那么∠F1YH=∠F2YK。

首先,在每个瞬时AP有增长的趋势,BP有缩短的趋势,于是P点速度方向是AP,BP方向上速度的合成。
由于绳长一定,那么运动过程中AP减少的长度=BP增加的长度。因此在每个瞬时其速度方向分别是沿AP向量方向和PB向量方向,且速度大小$v_{Ap}=v_{BP}$。根据平行四边形法则可知,合速度方向一定是沿着∠APB的外角平分线方向。而∠APB的内角平分线一定是与外角平分线垂直的,因此P点的速度方向(即轨迹切线方向)一定垂直于∠APB的内角平分线。
根据上面的引理,可知∠APB的内角平分线一定是∠F1PF2的内角平分线,且同时垂直于P点速度方向。由于满足光线反射定律*,因此P点运动轨迹是以F1,F2为焦点的椭。

注*:椭圆的切线的性质就是焦点三角形顶角的内角平分线与椭圆切线垂直,其逆命题也成立(可利用微分方程可推出椭圆方程证之)。更一般地,一焦点发射的光线通过某镜面在另一点汇聚,那么镜面就是椭球面。过焦点反射平行轴光线的镜面是抛物面。过一焦点的光线通过某镜面,反射的光线的反向延长线都通过另一点,那么镜面是双曲面。
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发表于 2013-12-10 17:15:33 | 显示全部楼层
由于楼主的问题是在一种物理背景下的问题(运动学问题)


我还是觉得 这题目应该是一个纯几何问题。
没必要牵扯上 任何的物理知识。

企图从物理学的角度解决纯几何问题,都只是隔靴挠痒
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