诡异的椭圆定理

yinhow

圆的也对，看来这个定理确实有些意思了。

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我们先从最特殊的情形讨论：
设内椭圆为$x^2/m^2+y^2/n^2=1$, 外椭圆为$x^2/a^2+y^2/b^2=1$,且$a^2-b^2=m^2-n^2$
取两个顶点$(a,0),(0,b)$计算，则有
$L=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx -2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx+(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a$..........(1)   
   
$L=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx -2*int_(arcsin(n/b))^(pi/2)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx+(2*a*sqrt(a^2-m^2))/b$..........(2)

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通过数值计算：
$12#$的两个等式几乎严格相等，取$m=5,n=3$

$f(a)=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx -2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx+(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a$   
   
$ -(int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx -2*int_(arcsin(n/b))^(pi/2)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx+(2*a*sqrt(a^2-m^2))/b)$

  $=-2*int_0^(arccos(5/a))sqrt(25-16*cos(x)^2)dx+2*sqrt((a^2-16)*(a^2-25))/a+2*int_(arcsin(3/sqrt(a^2-16)))^(pi/2)sqrt(25-16*cos(x)^2)dx-2*a*sqrt((a^2-25)/(a^2-16))$
画图


这说明至少在四个特殊点(顶点)是满足题意的

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根据数值计算可以肯定“诡异的椭圆定理”是成立的

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对于给定的内椭圆$x^2/m^2+y^2/n^2=1$,及绳长$L$
可以由下式计算得到$a,b$值，即P点的轨迹$x^2/a^2+y^2/b^2=1$

$L=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx -2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx+(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a$

$m^2-n^2=a^2-b^2$

hujunhua

验证这个问题反过来就行了，也就是任意选择等焦点椭圆，然后验证从外面椭圆上任意一点P向里面椭圆上引两条切线PA,PB,那么|PA|+|PB|-|椭圆劣弧AB|是常数。我们可以选择P是椭圆两个顶点时的特殊情况看看。其中主要是一个椭圆积分的计算 ...
mathe 发表于 2012-4-13 11:48

可以选择mathe的这种反向验证方法，要想完全证明，就必须选择一般位置的P点。为了避免椭圆积分，可以转而计算微分，只要证明微分恒等于零就行了。

wayne

问题转化成：
已知 PA+PB - PA与PB内部的椭圆弧长AB 为定值。
求证PF1+PF2为定值。
即是：
如果$\tan (t_1-t_2) \sqrt{a^2 \sin^2(t_1)+b^2 \cos^2(t_1)}+\tan (t_1-t_2) \sqrt{a^2 \sin^2(t_2)+b^2 \cos^2(t_2)}-\int_{t_2}^{t_1} \sqrt{a^2 \cos ^2(t)+b^2 \sin ^2(t)} dt$ 为定值

那么 $\sec (\frac{t_1}{2}-\frac{t_2}{2}) \sqrt{(\sqrt{a^2-b^2} \cos (\frac{t_1}{2}-\frac{t_2}{2})-a \cos (\frac{t_1}{2}+\frac{t_2}{2}))^2+(b \sin (\frac{t_1}{2}+\frac{t_2}{2}))^2}$+$\sec (\frac{t_1}{2}-\frac{t_2}{2}) \sqrt{(\sqrt{a^2-b^2} \cos (\frac{t_1}{2}-\frac{t_2}{2})+a \cos (\frac{t_1}{2}+\frac{t_2}{2}))^2+(b \sin (\frac{t_1}{2}+\frac{t_2}{2}))^2}$ 为定值

yinhow

10# mathe
我给他补一下，绳子有弹性，总长不变，所以弹性势能不变；系统机械能守恒，所以动能（或者速率）不变；速率不变，所以切向力为零，即角平分线垂直于切线。

wayne

18# yinhow


补充得 非常到位
emath论坛缺乏这样的物理大牛

wayne

18# yinhow
俺突然有一个疑问。
在这里运用 能量守恒定律 似乎有一个前提，就是没有外界的做功。而在本题，这种条件似乎无从得知。
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我一直都是想象着这样的场景，是 人用手 驱动着张紧轮而缓慢运动的。