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楼主: 数学星空

[讨论] 诡异的椭圆定理

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发表于 2013-12-10 17:15:33 | 显示全部楼层
由于楼主的问题是在一种物理背景下的问题(运动学问题)


我还是觉得 这题目应该是一个纯几何问题。
没必要牵扯上 任何的物理知识。

企图从物理学的角度解决纯几何问题,都只是隔靴挠痒
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-12-11 21:20:18 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2013-12-9 23:48
这个问题很有意思。我想到了两个定理。

第一个定理是Graues定理:同焦点椭圆上一点与另一椭圆两条切线段 ...

查不到Graues定理,请问这个定理的出处是?或者链接?
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发表于 2013-12-12 14:38:44 | 显示全部楼层
yinhow 发表于 2013-12-11 21:20
查不到Graues定理,请问这个定理的出处是?或者链接?

中学数学上的一篇文章,高中时候看到的,具体我也不记得了。
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发表于 2013-12-12 22:16:50 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2013-12-12 14:38
中学数学上的一篇文章,高中时候看到的,具体我也不记得了。

谢谢!
大概是哪一年份?我去查查看,或许能查得到
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发表于 2013-12-13 14:26:06 | 显示全部楼层
yinhow 发表于 2013-12-12 22:16
谢谢!
大概是哪一年份?我去查查看,或许能查得到

忘了,我只是做了一个简单的笔记。不知道是叫《中等数学》还是《中学数学》来着。里面有篇文章讨论的就是椭圆内接n边形的最大面积以及最大周长,那时候就做了一点笔记。
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 楼主| 发表于 2013-12-14 10:18:23 | 显示全部楼层
今天在东论网上看到了下面的结果,或许对此问题的理解有一定的帮助
http://bbs.cnool.net/cthread-104483637-1.html#114617112
陈都发布的结论:
20130811210933593.jpg
20130811211058281.jpg
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 楼主| 发表于 2013-12-15 20:29:18 | 显示全部楼层
关于椭圆积分的加法公式:
360截图20131215153948530.jpg
写成比较初等的形式:
360截图20131215163601186.jpg
360截图20131215163618308.jpg
5.jpg

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发表于 2013-12-15 20:43:18 | 显示全部楼层
数学星空 发表于 2013-12-14 10:18
今天在东论网上看到了下面的结果,或许对此问题的理解有一定的帮助
http://bbs.cnool.net/cthread-104483 ...

这些都是高次曲线,对于二次的问题应该帮助不大
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发表于 2013-12-15 21:30:39 | 显示全部楼层
本问题可以这样 厘清.
1)  过椭圆外一点对椭圆引切线,有且仅有两条. 而且这两段切线 线段的长度之和可以仅用这两个切点的坐标x1,x2表示
2) 同时,椭圆上两点之间的椭圆弧长的长度 也可以仅用 x1,x2表示.

已知 椭圆外一点P, 对椭圆的两段切线线段的长度之和 ,再加上两切点之间的弧长  为定值L.
求证, 该点P 的轨迹是 椭圆.

于是我们可以对该定值L的关于x1,x2的表达式 求导. 分别求关于x1,x2的导数,应该均为0.
这样,就得到了关于 x1和x2的约束关系.

在1)里面,  其实点P的坐标也可以用(x1,y1), (x2,y2)表示.
这样将约束关系式 代进来.消元,消去x1,y1,x2,y2.  得到 的x,y的约束式子  即是点P的轨迹方程 .  
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发表于 2013-12-19 02:45:19 | 显示全部楼层
用三角函数更加简洁.

椭圆上的点的坐标用参数表示, $ { a*cos(\theta), b*sin(\theta) }$ .  设$0<=\theta _1 <= \theta _2<=2*\pi$ ,则
那么 两个 切线长度之和为 $ T = \tan ({\theta _2-\theta _1}/2)\sqrt{(a^2+b^2+(b^2-a^2)\cos(2 \theta _1))/2}+\tan ({\theta _2-\theta _1}/2)\sqrt{(a^2+b^2+(b^2-a^2)\cos(2 \theta _2))/2}$
切线始终 将椭圆分成 长短两段,夹在内部的要短,外侧的要长, 类似于 圆的 劣弧和优弧.

这两个切线所夹的椭圆弧 长度 为 $C =b E(\theta _2|1-\frac{a^2}{b^2})-b E(\theta _1|1-\frac{a^2}{b^2})$

假设绳长为L, 比椭圆 周长 长 d,  即, $ L = d +2 (a E(1-\frac{b^2}{a^2})+b E(1-\frac{a^2}{b^2}))$
那么,问题的条件就是:$d=T-C$
即,上式 关于 $\theta _1 ,\theta _2$ 恒成立.
这个我们可以画出这两个角度的约束关系 图:
123.png

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