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楼主: 数学星空

[讨论] 诡异的椭圆定理

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发表于 2012-4-16 13:34:12 | 显示全部楼层
在过去的3天里,对这个问题仔细的思索了一下,就编了一个故事,因为思索的根源是看了hujunhua在/thread-3740-1-2.html的6层的帖子,所以故事的主角就冒昧的虚构为hujunhua了,赫赫。

很久以前,hujunhua在圈圈公司找到了一个职位,他每天的工作就是给定一个内圈S(图1中黑色细线,一般是凸的)和一个初始点A,然后他取出绳子(图中蓝色细线),把S和A围起来,然后收紧绳子(如果把S想象成为一个不规则的磨盘,可能比较容易理解收紧绳子着一步,赫赫),然后开始走,并且留下轨迹(红色的粗线),当转了一圈回到A以后,就得到了一个较大的圈,叫外圈。画好了外圈,工作就结束了。聪明的hujunhua一开始还有顾虑转一圈后是否还能恰好回到A点,但是很快就打消了这个顾虑,他发现外圈总是存在的。

图1

图1

原本这是一项无聊的工作,但是每次面对的S不同,稍稍增加了一点乐趣,hujunhua处理过的内圈S多了去了,有圆的、有方的、有椭圆的、有一个点的、有8个点的(八边形),还有鸡蛋形的……后来他还产生了一些新名词,管图1第二步中AB1叫前切线、AB2叫后切线,管这两个切线的角平分线叫法线。他发现了一个规律(命题1):“外圈切线(他的前进方向)总是垂直于法线”。
一天,杯具了,他忘带了绳子。怎么办?他没有去取绳子,他利用命题1,还是画出了外圈!他用命题1的方法画出的外圈总能交差么?他发现了另一个规律(命题1'):“保持垂直于法线的方向前进吧,这样得到的外圈和用绳子画出的是一致的。”不过后来他怀疑这个命题和命题1是不是完全是同一回事。

图2

图2

由于用绳子挺勒疼的,所以后来他干脆就干脆不用绳子了,就由于这个,他得到了提升,换到了一个负责打灯光的岗位,他坐在小车A上,A沿着一个给定的外圈L(图2中红色粗线)运动,他以夹角a打出灯光,灯光的中心(即a的角平分线)总是垂直于运动方向(外圈L的切线)。这个工作比较有乐趣,因为灵活性强,那个灯光的夹角a是由hujunhua随意控制的(但是每圈的相对位置上的a被要求是相同的,也可以理解为小车A只转一圈就停下)。例如有一次,hujunhua被安排到圆形的外圈L上(图3的右面),他决定在A点夹角a的大小为45度,B点为90度,中间线性变化(夹角a变化如图3左面)。

图3

图3

于是灯光的轨迹如图3右面所示,hujunhua想:那个包络曲线S是两个圈,还不够完美,能不能形成一个单一的闭合曲线呢?后来,他发现:对于圆形的外圈L,要想得到单一的闭合曲线S,那么a就必须保持不变,形成的S也一定是圆形的。这是因为他认识到了(如图4):对于某外圈L,要想形成单一的内圈S,就要求在A点的切线AB,和在B点的切线BA,重合。所以要象光反射那么来弄。欧,和光反射相关了。这样他就知道如何去控制a,使得形成完美的内圈S。结合原先的经历,他得到了规律(命题2):在镜面(外圈L)中的光线来回反射形成的包络(内圈S),和用绳子拴住磨盘(内圈S)形成的轨迹(外圈L),是对应的。

图4

图4

后来,hujunhua了解了费玛400年前,又看了费曼的物理学讲义知道了光反射的路径体现了光程的极值(按照费曼的观点:光程变化率为0的地方才能得到相干加强),于是就和内接最大多边形啥的问题就联系起来了。
故事到此告一段落吧,再次感谢一下hujunhua的客串,赫赫。
最后出一道小题解闷,赫赫。

图5

图5

如图5,一个半径为1的圆和x轴相切于原点O,在坐标5的地方有一个定点P,在坐标15的地方有一动点A,做逆时针运动,运动过程中运动方向始终和角a的角平分线垂直(角a是连线AP和过A点圆O的切线的夹角),当A转一圈后,撞到x的正半轴时,A点的坐标是多少?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-4-16 14:03:28 | 显示全部楼层
看了zgg的这些文字,我立马想到了很多赞美的词汇,胡乱堆叠起来,就是
视野恢宏 高屋建瓴
乐趣生动 收发自如
余音绕梁 不得不赞

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参与人数 1金币 +1 收起 理由
zgg___ + 1 可千万不能这么说呀!对错都不一定呢!比ma ...

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发表于 2012-4-16 14:20:25 | 显示全部楼层
能否通过这个定理把一般椭圆弧长等价到特殊方位上,从而得到精确值?
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发表于 2012-4-16 16:06:59 | 显示全部楼层
敢情我是一头聪明的驴呀,哈哈。

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参与人数 1鲜花 +1 收起 理由
zgg___ + 1 赫赫,多有冒犯了呢。

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发表于 2012-4-16 16:20:32 | 显示全部楼层
32# zgg___


形象诙谐的描述,给本帖增色不少。
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发表于 2012-4-16 22:18:59 | 显示全部楼层
30# 056254628
我把帖子删掉啦,因为我当时认识到 从运动学的角度来考虑此题似乎走偏了,讨论的篇幅特别多,最终得出的结论就是 张紧轮只能做匀速运动才能保证该问题是独立的数学问题,这个其实对本题还是无济于事的。
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是通过额外的牵引力,使得三者的合力始终指向椭圆的一个焦点,并且合力的大小与轮子到该焦点的距离的平方成反比。

其一、只要物体做椭圆运动,那么他的合力必定无条件的指向焦点,并且合力的大小与轮子到该焦点的距离的平方成反比的。
其二、你说的另一种思路:其本质就是因果关系中的果,执果索因。把因果倒置,即如果物体做曲线运动,其合力始终是指向定点,大小始终是k/r^2 ,那么物体做椭圆运动。 这个是不成立的。 不过如果再附加的说明该物体是做周期运动,那么,就能成立,这个就是有名的开普勒第三定律。
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其实,个人认为,本题应该是纯的几何画图问题。
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发表于 2012-4-17 10:10:14 | 显示全部楼层
37# wayne
“其一、。。。。。”
错误。一个小球受椭圆壁的约束沿壁滑动时,所受力总是垂直于壁的,而不是指向椭圆焦点。
“其二、如果物体做曲线运动,其合力始终是指向定点,大小始终是k/r^2 ,那么物体做椭圆运动。”
这个是部分正确的,牛顿的《自然哲学的数学原理》中专门证明了的(第一卷.第III部分.命题XVII.问题IX)。wayne这是要打倒牛顿啊。
物体也可能沿抛物线或者双曲线运动,取决于初始条件。
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发表于 2012-4-17 10:40:48 | 显示全部楼层
38# hujunhua
岂敢岂敢,
其一、老大在这里说的垂直于椭圆壁的力 大概就是椭圆壁的支持力吧,这个没错,的确是垂直于椭圆壁的。
我在这里的确犯了一个错误,不是合力,应该是向心力,即物体所受的合力在运动方向的法向上的分量。
后面说的合力的指向也是错的。

其二、老大引经据典,具体到某一个章节啦,我待会查查。俺在这里措辞有点僵化,不过在后面补充了,如果物体还同时做周期运动,那么必定是椭圆
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发表于 2012-4-17 10:57:09 | 显示全部楼层
30# 056254628
回到056254628在30楼说的“另一种思路”
挺有趣的。
这个牵引力应该就是 假象的万有引力减去(向量减法) 椭圆壁的支持力和离心力(mv^2/r)。
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发表于 2012-4-17 11:05:35 | 显示全部楼层
才明白过来,原来056254628在30楼 是提供了一个解决本题的 完整的物理途径
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