诡异的椭圆定理

zgg___

在过去的3天里，对这个问题仔细的思索了一下，就编了一个故事，因为思索的根源是看了hujunhua在http://bbs.emath.ac.cn/thread-3740-1-2.html的6层的帖子，所以故事的主角就冒昧的虚构为hujunhua了，赫赫。

很久以前，hujunhua在圈圈公司找到了一个职位，他每天的工作就是给定一个内圈S（图1中黑色细线，一般是凸的）和一个初始点A，然后他取出绳子（图中蓝色细线），把S和A围起来，然后收紧绳子（如果把S想象成为一个不规则的磨盘，可能比较容易理解收紧绳子着一步，赫赫），然后开始走，并且留下轨迹（红色的粗线），当转了一圈回到A以后，就得到了一个较大的圈，叫外圈。画好了外圈，工作就结束了。聪明的hujunhua一开始还有顾虑转一圈后是否还能恰好回到A点，但是很快就打消了这个顾虑，他发现外圈总是存在的。

图1

原本这是一项无聊的工作，但是每次面对的S不同，稍稍增加了一点乐趣，hujunhua处理过的内圈S多了去了，有圆的、有方的、有椭圆的、有一个点的、有8个点的（八边形），还有鸡蛋形的……后来他还产生了一些新名词，管图1第二步中AB1叫前切线、AB2叫后切线，管这两个切线的角平分线叫法线。他发现了一个规律（命题1）：“外圈切线（他的前进方向）总是垂直于法线”。
一天，杯具了，他忘带了绳子。怎么办？他没有去取绳子，他利用命题1，还是画出了外圈！他用命题1的方法画出的外圈总能交差么？他发现了另一个规律（命题1'）：“保持垂直于法线的方向前进吧，这样得到的外圈和用绳子画出的是一致的。”不过后来他怀疑这个命题和命题1是不是完全是同一回事。

图2

由于用绳子挺勒疼的，所以后来他干脆就干脆不用绳子了，就由于这个，他得到了提升，换到了一个负责打灯光的岗位，他坐在小车A上，A沿着一个给定的外圈L（图2中红色粗线）运动，他以夹角a打出灯光，灯光的中心（即a的角平分线）总是垂直于运动方向（外圈L的切线）。这个工作比较有乐趣，因为灵活性强，那个灯光的夹角a是由hujunhua随意控制的（但是每圈的相对位置上的a被要求是相同的，也可以理解为小车A只转一圈就停下）。例如有一次，hujunhua被安排到圆形的外圈L上（图3的右面），他决定在A点夹角a的大小为45度，B点为90度，中间线性变化（夹角a变化如图3左面）。

图3

于是灯光的轨迹如图3右面所示，hujunhua想：那个包络曲线S是两个圈，还不够完美，能不能形成一个单一的闭合曲线呢？后来，他发现：对于圆形的外圈L，要想得到单一的闭合曲线S，那么a就必须保持不变，形成的S也一定是圆形的。这是因为他认识到了（如图4）：对于某外圈L，要想形成单一的内圈S，就要求在A点的切线AB，和在B点的切线BA，重合。所以要象光反射那么来弄。欧，和光反射相关了。这样他就知道如何去控制a，使得形成完美的内圈S。结合原先的经历，他得到了规律（命题2）：在镜面（外圈L）中的光线来回反射形成的包络（内圈S），和用绳子拴住磨盘（内圈S）形成的轨迹（外圈L），是对应的。

图4

后来，hujunhua了解了费玛400年前，又看了费曼的物理学讲义知道了光反射的路径体现了光程的极值（按照费曼的观点：光程变化率为0的地方才能得到相干加强），于是就和内接最大多边形啥的问题就联系起来了。
故事到此告一段落吧，再次感谢一下hujunhua的客串，赫赫。
最后出一道小题解闷，赫赫。

图5

如图5，一个半径为1的圆和x轴相切于原点O，在坐标5的地方有一个定点P，在坐标15的地方有一动点A，做逆时针运动，运动过程中运动方向始终和角a的角平分线垂直（角a是连线AP和过A点圆O的切线的夹角），当A转一圈后，撞到x的正半轴时，A点的坐标是多少？

wayne

看了zgg的这些文字，我立马想到了很多赞美的词汇，胡乱堆叠起来，就是
视野恢宏 高屋建瓴
乐趣生动 收发自如
余音绕梁 不得不赞

zeroieme

能否通过这个定理把一般椭圆弧长等价到特殊方位上，从而得到精确值？

hujunhua

敢情我是一头聪明的驴呀，哈哈。

gxqcn

32# zgg___


形象诙谐的描述，给本帖增色不少。

wayne

30# 056254628
我把帖子删掉啦，因为我当时认识到 从运动学的角度来考虑此题似乎走偏了，讨论的篇幅特别多，最终得出的结论就是 张紧轮只能做匀速运动才能保证该问题是独立的数学问题，这个其实对本题还是无济于事的。
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是通过额外的牵引力，使得三者的合力始终指向椭圆的一个焦点，并且合力的大小与轮子到该焦点的距离的平方成反比。

其一、只要物体做椭圆运动，那么他的合力必定无条件的指向焦点，并且合力的大小与轮子到该焦点的距离的平方成反比的。
其二、你说的另一种思路：其本质就是因果关系中的果，执果索因。把因果倒置，即如果物体做曲线运动，其合力始终是指向定点，大小始终是k/r^2 ,那么物体做椭圆运动。 这个是不成立的。 不过如果再附加的说明该物体是做周期运动，那么，就能成立，这个就是有名的开普勒第三定律。
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其实，个人认为，本题应该是纯的几何画图问题。

hujunhua

37# wayne
“其一、。。。。。”
错误。一个小球受椭圆壁的约束沿壁滑动时，所受力总是垂直于壁的，而不是指向椭圆焦点。
“其二、如果物体做曲线运动，其合力始终是指向定点，大小始终是k/r^2 ,那么物体做椭圆运动。”
这个是部分正确的，牛顿的《自然哲学的数学原理》中专门证明了的（第一卷.第III部分.命题XVII.问题IX）。wayne这是要打倒牛顿啊。
物体也可能沿抛物线或者双曲线运动，取决于初始条件。
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wayne

38# hujunhua
岂敢岂敢， 。
其一、老大在这里说的垂直于椭圆壁的力 大概就是椭圆壁的支持力吧，这个没错，的确是垂直于椭圆壁的。
我在这里的确犯了一个错误，不是合力，应该是向心力，即物体所受的合力在运动方向的法向上的分量。
后面说的合力的指向也是错的。

其二、老大引经据典，具体到某一个章节啦，我待会查查。俺在这里措辞有点僵化，不过在后面补充了，如果物体还同时做周期运动，那么必定是椭圆

wayne

30# 056254628
回到056254628在30楼说的“另一种思路”
挺有趣的。
这个牵引力应该就是 假象的万有引力减去(向量减法) 椭圆壁的支持力和离心力(mv^2/r)。

wayne

才明白过来，原来056254628在30楼 是提供了一个解决本题的 完整的物理途径