诡异的椭圆定理

056254628

20# wayne
是不是可以设想，给紧张轮一个初速度，然后紧张轮就在没有摩擦力的绳子的束缚下按照椭圆轨迹运动？
初速度大小没关系，速度大，绳子的张力就大。但是这个初速度的方向就得和该椭圆的切线方向一致。
如果给的初速度的方向是任意的，那么紧张轮的轨迹又是什么呢？
还是该椭圆？那么初始点就是一个奇点了。

056254628

20# wayne
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我一直都是想象着这样的场景，是 人用手 驱动着张紧轮而缓慢运动的。

这给了我启示，如果人用手驱动着张紧轮，驱动的方向永远是张紧轮的运动方向，并且力的大小与绳子的合力永远指向椭圆的一个焦点，大小满足与距离平方成反比，那么张紧轮的运动轨迹就呼之欲出了，必然是椭圆，与地球绕太阳转的原理一样。

数学星空

https://bbs.emath.ac.cn/data/attachment/forum/month_1204/12041313579a6d78fd093abdea.jpg
问题转化成：
已知 PA+PB - PA与PB内部的椭圆弧长AB 为定值。
求证PF1+PF2为定值。
即是：
如果\tan (t_1-t_ ...
wayne 发表于 2012-4-15 10:35

能具体给出$PA=tan(t_1-t_2)*sqrt(a^2*cos(t_1)^2+b^2*sin(t_1)^2)$及$F_1A$表达式的推导过程吗？

056254628

24# yinhow

不能设想这个轮子在椭圆轨道上滚动
这样假设了，绳子的约束就不起作用了。

wayne

24# yinhow
我在20楼 想质疑的就是，本题并没有给出清晰严格的物理场景，应该运用数学手段，即从几何角度解决更恰当。

数学星空

根据$12#$的结果，我们同样取$L=40,m =5,n=3$
算得$a =13.26652410, b = 12.6491368$
取了$4*30=120$个样本点绘制出点$P$及在内椭圆切点$A,B$的轨迹图

当然我们也很容易验算了所有$120$个点对应的绳长均为$40$.

wayne

23# 数学星空
我是借助数学软件来实现的：
先算出P点的坐标，将参数方程代入椭圆的切线方程，求2切线的交点

1. xy=TrigFactor[{x,y}/.First@Solve[{(x Cos[Subscript[t, 1]])/a+(y Sin[Subscript[t, 1]])/b==1,(x Cos[Subscript[t, 2]])/a+(y Sin[Subscript[t, 2]])/b==1},{x,y}]]

复制代码

${a \cos (\frac{t_1}{2}+\frac{t_2}{2}) \sec (\frac{t_1}{2}-\frac{t_2}{2}),b \sin (\frac{t_1}{2}+\frac{t_2}{2}) \sec (\frac{t_1}{2}-\frac{t_2}{2})}$
然后计算PA

1. Total[(xy - {a Cos[Subscript[t, 1]], b Sin[Subscript[t, 1]]})^2] // TrigFactor

复制代码

数学星空

根据hujunhua的提示：
我们可以应用求导的方法来尝试证明
设  $s_1=-(-a*n*sin(t)+sqrt(a^2*n^2*sin(t)^2+b^2*m^2*cos(t)^2-b^2*a^2))/(b*(m*cos(t)+a))$
   
      $s_2=(a*n*sin(t)+sqrt(a^2*n^2*sin(t)^2+b^2*m^2*cos(t)^2-b^2*a^2))/(b*(m*cos(t)+a))$

   则
      $ t_1=arcsin((2*s_1)/(1+s_1^2))$
     
      $t_2=arcsin((2*s_2)/(1+s_2^2))$
      
      $ f(t)=sqrt((a*cos(t_1)-m*sin(t))^2+(b*sin(t_1)-n*sin(t))^2)+sqrt((a*cos(t_2)-m*sin(t))^2+(b*sin(t_2)-n*sin(t))^2)-int_(t_1)^(t_2) sqrt( a^2-(a^2-b^2)*cos(x)^2)dx$

      现在只需要证明$(f(t))'=0$即可

   (其中$a,b,m,n$均为常数，且有关系式$a^2-b^2=m^2-n^2$)

056254628

29# wayne

在绳子的约束下，轮子的运动速度是匀速还是变速，轮子受到什么样的额外牵引力，对轮子的运动轨迹没有影响。
假设轮子匀速率是一种方法。
我的另外一种思路，是通过额外的牵引力，使得三者的合力始终指向椭圆的一个焦点，并且合力的大小与轮子到该焦点的距离的平方成反比。这样就转化成类似于地球与太阳的引力问题，这样的结果是：轮子的运行轨迹必然是以该焦点为焦点的椭圆。
若要找到这样的牵引力，那么它的方向不能始终与运行方向平行。
牵引力：两个变量，一个是大小，一个是方向
两个约束条件，一个是合力指向焦点，另一个是合力乘以到该焦点的距离的平方等于常数。
若方程有解，轮子的运行轨迹就是椭圆。

hujunhua

根据hujunhua的提示：
我们可以应用求导的方法来尝试证明
设  s_1=-(-a*n*sin(t)+sqrt(a^2*n^2*sin(t)^2+b^2*m^2*cos(t)^2-b^2*a^2))/(b*(m*cos(t)+a))
   
        s_2=(a*n*sin(t)+sqrt(a^2*n^2*sin(t)^2+b^2* ...
数学星空 发表于 2012-4-16 00:05

椭圆上AB弧长的微分等于A处和B处弧长微分的代数和，不需要通过对椭圆积分再微分。