诡异的椭圆定理

mathe

其实这个问题我们可以改为证明一般性的问题，用长度固定的无弹性绳子套在一光滑闭图形上滑动，笔尖得出的光滑图形法向总是两绳子方向的角平分线即可

数学星空

若101#结论成立，那如何描述这一定长绳圈的缠绕曲线呢？
例如：对于曲线$(x/a)^k+(y/b)^k=1$定长绳圈的缠绕曲线如何求解？

mathe

数学星空 发表于 2013-12-22 19:23
若101#结论成立，那如何描述这一定长绳圈的缠绕曲线呢？
例如：对于曲线定长绳圈的缠绕曲线如何求解？

对一般曲线这个性质不一定有用，但是对于椭圆，基于前面“物理证明”中用到一个关于椭圆的定理，就可以证明本题了。

mathe

我们假设对一曲线其关于弧长的参数方程为p(s)(这里p是向量，s是弧长参数，后面还有参数r为向量,u,v,h为数量）
于是||p'(s)||=1,或者可以写成$p'^2=1$(这里p'都表示对于s的导数)，
假设曲线上关于s1,s2的两个点处切线交于向量r(t),其中t是交点构成曲线上任意参数表示
于是存在数量u,v使得$r=p(s1)+u*p'(s1)=p(s2)+v*p'(s2)$,而且我们知道两段切线段长度分别为u和-v
而且我们知道$p'(s1)-p'(s2)$表示两线角平分线方向,$p'(s1)+p'(s2)$是和这个方向垂直的方向。
我们需要证明${dr}/{dt}(p'(s1)-p'(s2))=0$即可证明
由于${dr}/{dt}=p'(s1)({ds1}/{dt}+{du}/{dt})+u*{dp'(s1)}/{dt}=p'(s2)({ds2}/{dt}+{dv}/{dt})+v*{dp'(s2)}/{dt}$
另外由于$p'(s1)^2=p'(s2)^2=1$,对t求导得到$p'(s1){dp'(s1)}/{dt}=p'(s2){dp'(s2)}/{dt}=0$
于是${dr}/{dt}p'(s1)={ds1}/{dt}+{du}/{dt}$
${dr}/{dt}p'(s2)={ds2}/{dt}+{dv}/{dt}$,
两切线长度和合弧长差为常数代表$u-v=s2-s1+h$,所以$u+s1=v+s2+h,{d(u+s1)}/{dt}={d(v+s2)}/{dt}$
由此我们得出${dr}/{dt}p'(s1)={dr}/{dt}p'(s2)$
也就是${dr}/{dt}(p'(s1)-p'(s2))=0$
由此证明了101#的结论

mathe

现在看物理模型应该是假设绳子有弹性，然后一直对物体施加适当的垂直运动方向的力量，使得绳子长度保持不变（也就是绳子的弹力不变）。于是由于绳子产生的势能不变，而由于外力一直垂直运动方向，做功为零，所以物体运动速率不变（动能不变），由此合力必然垂直于运动方向。唯一问题是如何证明这样的运动模式存在。
另外一个问题是是否存在一个不需要施加外力的运动模式，不过我直觉不行。

mathe

查询了一下，椭圆在长轴端点曲率半径为${b^2}/a$在短轴端点曲率半径为${a^2}/b$,所以两者曲率半径比为${a^3}/{b^3}$
而如果绳子张力为常数，在两处绳子合力比例为$b/a$。
所以如果没有外力干预,是无法做上面的匀速运动的（向心力和曲率半径成反比）

wayne

@mathe, 我还是觉得本题属于 纯数学问题.
个人认为:物理的本质是数学,以及一些建立在无数个实验和观察数据的基础上的 经验公式 ,华丽的美其名曰某某某定理  而成 .

mathe

物理方法的优点是直观，当然有时候严谨性不够

wayne

读书的时候 看过一本物理书。书里面把 运动学里所有的运动量 用 矢径r，以及r对时间的各种导数 表达。其演算过程 完全是数学的。
如果按照牛顿的几个定理的意思，引入力的数学概念，那么，基于前面运动学的一些千变万化的表达形式，力学就能定量分析了，比如冲量定理，动量守恒，能量守恒...
牛顿力学里的每一个数学形式，如果剥离掉物理属性的东西，那么剩下的骨架都只不过是运动学的形式，而所有运动学的东西都是纯数学的。

后来被麦克斯韦方程组总结的电磁学，也无一不在向世人展示，物理只不过是数学的外衣而已。

几何光学更是数学的产物。
把光当做电磁波的话，那又是一套复杂的计算过程，这里面几乎压倒性的依赖于数学。
声学更是数学。

现代物理学几乎完全是数学手段。有人曾撕心裂肺的喊过，我学物理就是为了躲避数学，结果恰恰相反，越往下学，越依靠数学。。。

101# creasson 的解答有那么一点物理运动学的味道。

Lwins_G

wayne 发表于 2013-12-25 09:59
读书的时候 看过一本物理书。书里面把 运动学里所有的运动量 用 矢径r，以及r对时间的各种导数 表达。其演 ...

诚然如此，数学确实是理论物理的一大基石。
那么为何时至今日我们还追求所谓的“物理证明”？正如mathe在109#说的，物理方法的优点是直观。此处举一例：Tarjan对Splay tree的splay操作的时间复杂度的证明，就使用了一个辅助势函数。势函数，正如其名字一样，最初是从物理学的势能所启发出的一个技巧。而这个证明当然是一个纯数学证明。也许这算不上什么物理方法，不过，物理在其中的启发作用是显而易见的。同理，物理模型，不过是一种虽然拥有很高复杂性，但是却被我们理解得很好的一个工具。如果我们使用得当，就可以很好地在我们对某些数学命题的证明中得心应手。