yinhow 发表于 2013-12-11 21:20:18

kastin 发表于 2013-12-9 23:48
这个问题很有意思。我想到了两个定理。

第一个定理是Graues定理:同焦点椭圆上一点与另一椭圆两条切线段 ...

查不到Graues定理,请问这个定理的出处是?或者链接?

kastin 发表于 2013-12-12 14:38:44

yinhow 发表于 2013-12-11 21:20
查不到Graues定理,请问这个定理的出处是?或者链接?

中学数学上的一篇文章,高中时候看到的,具体我也不记得了。

yinhow 发表于 2013-12-12 22:16:50

kastin 发表于 2013-12-12 14:38
中学数学上的一篇文章,高中时候看到的,具体我也不记得了。

谢谢!
大概是哪一年份?我去查查看,或许能查得到

kastin 发表于 2013-12-13 14:26:06

yinhow 发表于 2013-12-12 22:16
谢谢!
大概是哪一年份?我去查查看,或许能查得到

忘了,我只是做了一个简单的笔记。不知道是叫《中等数学》还是《中学数学》来着。里面有篇文章讨论的就是椭圆内接n边形的最大面积以及最大周长,那时候就做了一点笔记。

数学星空 发表于 2013-12-14 10:18:23

今天在东论网上看到了下面的结果,或许对此问题的理解有一定的帮助
http://bbs.cnool.net/cthread-104483637-1.html#114617112
陈都发布的结论:

数学星空 发表于 2013-12-15 20:29:18

关于椭圆积分的加法公式:

写成比较初等的形式:




mathe 发表于 2013-12-15 20:43:18

数学星空 发表于 2013-12-14 10:18
今天在东论网上看到了下面的结果,或许对此问题的理解有一定的帮助
http://bbs.cnool.net/cthread-104483 ...

这些都是高次曲线,对于二次的问题应该帮助不大

wayne 发表于 2013-12-15 21:30:39

本问题可以这样 厘清.
1)过椭圆外一点对椭圆引切线,有且仅有两条. 而且这两段切线 线段的长度之和可以仅用这两个切点的坐标x1,x2表示
2) 同时,椭圆上两点之间的椭圆弧长的长度 也可以仅用 x1,x2表示.

已知 椭圆外一点P, 对椭圆的两段切线线段的长度之和 ,再加上两切点之间的弧长为定值L.
求证, 该点P 的轨迹是 椭圆.

于是我们可以对该定值L的关于x1,x2的表达式 求导. 分别求关于x1,x2的导数,应该均为0.
这样,就得到了关于 x1和x2的约束关系.

在1)里面,其实点P的坐标也可以用(x1,y1), (x2,y2)表示.
这样将约束关系式 代进来.消元,消去x1,y1,x2,y2.得到 的x,y的约束式子即是点P的轨迹方程 .

wayne 发表于 2013-12-19 02:45:19

用三角函数更加简洁.

椭圆上的点的坐标用参数表示, { a*cos(\theta), b*sin(\theta) } .设0<=\theta _1 <= \theta _2<=2*\pi ,则
那么 两个 切线长度之和为 T = \tan ({\theta _2-\theta _1}/2)\sqrt{(a^2+b^2+(b^2-a^2)\cos(2 \theta _1))/2}+\tan ({\theta _2-\theta _1}/2)\sqrt{(a^2+b^2+(b^2-a^2)\cos(2 \theta _2))/2}
切线始终 将椭圆分成 长短两段,夹在内部的要短,外侧的要长, 类似于 圆的 劣弧和优弧.

这两个切线所夹的椭圆弧 长度 为 C =b E(\theta _2|1-\frac{a^2}{b^2})-b E(\theta _1|1-\frac{a^2}{b^2})

假设绳长为L, 比椭圆 周长 长 d,即, L = d +2 (a E(1-\frac{b^2}{a^2})+b E(1-\frac{a^2}{b^2}))
那么,问题的条件就是:d=T-C
即,上式 关于 \theta _1 ,\theta _2 恒成立.
这个我们可以画出这两个角度的约束关系 图:


wayne 发表于 2013-12-19 03:22:32

现在,根据上面的图形,我们就很好 设置初始值, 从而进行数值计算了
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